3.2.1 Produit scalaire

Un produit scalaire de $E$ est une loi qui à deux éléments ${\bf u}$ et ${\bf v}$ de $E$ associe un nombre ${\bf u}.{\bf v}$ ayant les propriétés suivantes:

• ${\bf u}.{\bf u}\ge 0$, l'égalité ayant lieu si et seulement si ${\bf u}={\bf0}$
• ${\bf u}.{\bf v}={\bf v}.{\bf u}$
• $({\bf u}+{\bf u}').{\bf v}={\bf u}.{\bf v}+{\bf u}'.{\bf v}$, $(\lambda{\bf u}).{\bf v}=\lambda({\bf u}.{\bf v})$

où ${\bf u},{\bf u}',{\bf v}$ sont quelconques dans $E$ et où $\lambda$ est un nombre réel arbitraire. La dernière propriété exprime le fait que le produit scalaire est linéaire en son facteur de gauche; à cause de la seconde, il l'est également à droite. Le carré scalaire ${\bf u}.{\bf u}$ est parfois noté ${\bf u}^2$.

Un espace vectoriel Euclidien est un espace vectoriel muni d'un produit scalaire.

Exemple 3.2.1   Dans ${\rm I\!R}^n$, l'application définie par

$$(x_1, \ldots ,x_n).(y_1, \ldots ,y_n)=x_1y_1+ \cdots +x_ny_n$$

est un produit scalaire.

Les vérifications sont immédiates. Ce produit scalaire est le produit canonique de ${\rm I\!R}^n$.

Dans la suite de cette section, $E$ est muni d'un produit scalaire.