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2.5.2 Invariance du rapport de section

Proposition 2.5.3   La projection centrale sur des plans parallèles conserve les combinaisons affines. En particulier, elle laisse invariant le rapport de section.

Preuve. Soient des plans parallèles $ \alpha $ et $ \alpha '$ et une combinaison affine $ \alpha_1A_1+ \cdots +\alpha_pA_p$ de points de $ \alpha $. Posons, pour $ i= 1, \ldots ,p$, % latex2html id marker 29793 $ A'_i={\rm pr}_{S,\alpha'}(A_i)$, où $ S$ est un point extérieur aux deux plans. D'après le théorème de Thalès, il existe $ \lambda$ tel que $ \overrightarrow{SA'_i}=\lambda\overrightarrow{SA_i}$ pour tout $ i$. On a donc

$\displaystyle \alpha_1\overrightarrow{SA'_1}+ \cdots +\alpha_p\overrightarrow{S... ...=\lambda(\alpha_1\overrightarrow{SA_1}+ \cdots +\alpha_p\overrightarrow{SA_p}) $

ce qui montre que $ \alpha_1A'_1+ \cdots +\alpha_pA'_p$ est le point de percée dans $ \alpha '$ de la droite joignant $ S$ et $ \alpha_1A_1+ \cdots +\alpha_pA_p$.$ \qed $


2002-12-17