2.8 Le théorème de Desargues

De nouveau, ${\mathcal E}$ est un espace affine; on suppose de plus que ${\rm dim}\ {\mathcal E}=3$. Le théorème de Desargues que l'on va démontrer permet par exemple de construire une droite passant par un point donné et par l'intersection de deux droites qui se coupent en dehors de la feuille de dessin. D'un point de vue plus théorique, c'est un résultat clé, que l'on prend dailleurs parfois comme axiome. Il appartient en fait à la géométrie projective, dans laquelle points et directions se confondent. Nous avons choisi de ne pas aborder celle-ci dans ces notes. C'est pourquoi le théorème sera présenté sous une forme inhabituelle avant d'être spécialisé à divers cas particuliers plus proches de l'énoncé projectif.

Pour simplifier l'écriture, on convient de désigner par ${\mathcal A}{\mathcal B}$ le plan formé par deux droites coplanaires distinctes ${\mathcal A}$ et ${\mathcal B}$.