4.3.0.2 Angle d'une droite et d'un hyperplan, de deux hyperplans

L'angle $\theta$ d'une droite ${\mathcal D}$ et d'un hyperplan $\alpha$ est par définition le complémentaire de l'angle formé par ${\mathcal D}$ et une droite dont la direction est normale à $\alpha$. Il est donc aussi compris entre 0 et $\frac{\pi}{2}$ et est déterminé par son sinus

$$\sin \theta = \frac{\vert{\bf u}.{\bf n}\vert}{\vert{\bf u}\vert\vert{\bf n}\vert}$$

où ${\bf n}$ est une normale à $\alpha$.

Figure 2: Angle d'une droite et d'un hyperplan.

L'angle $\theta$ de deux hyperplans $\alpha$ et $\alpha '$ est l'angle formé par deux droites respectivement normales à l'un et à l'autre. Il est de nouveau compris entre 0 et $\frac{\pi}{2}$. Son cosinus vaut

$$\cos \theta = \frac{\vert{\bf n}.{\bf n}'\vert}{\vert{\bf n}\vert\vert{\bf n}'\vert}$$

où ${\bf n}$ et ${\bf n}'$ sont des normales à $\alpha$ et $\alpha '$.

Figure 3: Angle de deux hyperplans.