7.2.0.2 Portion régulière de surface

L'image $\varphi(U)$ d'un paramétrage $(U,\varphi)$ de classe $C_p$ est une portion régulière de surface de classe $C_p$. Dans le cas d'un paramétrage par des coordonnées, c'est le graphe de la fonction exprimant la troisième coordonnées à l'aide des deux qui servent de paramètres.

Exemple 7.2.1   Le paraboloïde hyperbolique

Figure: ${\mathcal D}$ engendre un paraboloïde hyperbolique.

Soient deux droites gauches ${\mathcal A}$ et ${\mathcal B}$ perçant un plan $\pi$ en les points $A$ et $B$ respectivement. Les points situés sur les droites parallèles à $\pi$ ets'appuyant sur ${\mathcal A}$ et ${\mathcal B}$ sont exactement les points de la forme

$$\varphi(u,v) = (1-u)(A+v({\bf b}.{\bf n}){\bf a})+u(B+v({\bf a}.{\bf n}){\bf b})$$

où ${\bf a}$ est un vecteur-directeur de ${\mathcal A}$, ${\bf b}$ un de ${\mathcal B}$ et ${\bf n}$ est une normale à $\pi$, $u$ et $v$ étant des nombres réels arbitraires. Les vecteurs

$$\partial_u\varphi = \overrightarrow{AB}-v({\bf b}.{\bf n}){\bf a}+v({\bf a}.{\bf n}){\bf b}$$

$$\partial_v\varphi = (1-u)({\bf b}.{\bf n}){\bf a}+u({\bf a}.{\bf n}){\bf b}$$

sont linéairement indépendants pour tout $(u,v)$. Par conséquent, $({\rm I\!R}^2,\varphi)$ est un paramétrage. La portion régulière de surface qu'il décrit est un paraboloïde hyperbolique.

Exemple 7.2.2   Sphère et projection stéréographique

Figure: $X$ est la projection stéréographique de $P$.

Soit $N$ un point de la sphère ${\mathcal S}=S(O,r)$. Si $P\in{\mathcal S}$ est distinct de $N$, la droite $NP$ perce le plan équatorial $\varepsilon$ relatif à $N$ (c'est-à-dire passant par $O$ et perpendiculaire à $NO$) en un seul point $X$. Il est clair que le passage de $P$ à $X$ est une bijection entre ${\mathcal S}$ privé de $N$ et $\varepsilon$. On l'appelle la projection stéréographique à partir de $N$. On obtient alors un paramétrage de ${\mathcal S}\setminus N$ en reconstituant $P$ à partir de $X$. Le repère étant choisi comme indiqué sur la figure, cela donne le paramétrage $({\rm I\!R}^2,\varphi)$, où

$$\varphi(u,v)=(\frac{2r^2u}{u^2+v^2+r^2},\frac{2r^2v}{u^2+v^2+r^2}, \frac{r(u^2+v^2-r^2)}{u^2+v^2+r^2}).$$ (7.2)

Exemple 7.2.3   L'hémisphère sud

Figure: Changement de paramétrages dans l'hémisphère sud.

L' ``hémisphère sud" de ${\mathcal S}$ (celui dont les points ont une cote $z$ négative) peut également être décrit au moyen d'un paramétrage par des coordonnées. Dans le repère considéré, la sphère est en effet le lieu des points dont les coordonnées vérifient l'équation $x^2+y^2+z^2=r^2$. L'hémisphère sud admet donc le paramétrage $(V,\psi)$, où

$$\psi:(x,y) \mapsto (x,y,-\sqrt{r^2-x^2-y^2})$$

est défini dans le disque ouvert $V=\{(x,y):x^2+y^2<r^2\}$.