7.5.2.1 Expression de $W_{P}$

La dérivée de $N$ dans la direction de ${\bf h}=\gamma'(t_{0})$ est, par définition, la dérivée en $t_{0}$ de $N\circ\gamma=(N\circ\varphi)(u(t),v(t))$. Elle vaut donc

$$W_{P}({\bf h})=\partial_{u_{0}}N u'_{0}+\partial_{v_{0}}N v'_{0}.$$ (7.7)

( $\partial_{u}N$ et $\partial_{v}N$ désignent les dérivées de $N\circ \varphi$ par rapport à $u$ et $v$ respectivement.) En particulier, cette expression montre que $W_{P}({\bf h})$ ne dépend que de ${\bf h}$ et non de l'arc de courbe $\Gamma$ choisi pour l'évaluer. Elle montre également que $W_{P}({\bf h})$ dépend linéairement de ${\bf h}$.

Exemple 7.5.6   Sphère rapportée aux coordonnées sphériques

Poursuivons l'exemple (5.1) en notant $\varphi$ le paramétrage par les coordonnées sphériques. La normale (37) vaut $\frac{1}{r}\varphi$. Par conséquent, l'application de Weingarten de la sphère est donnée par

$$W_{P}({\bf h})=\frac{1}{r}{\bf h}.$$

C'est donc un multiple de l'identité. La seconde forme fondamentale est alors donnée par

$$\varpi_{P}({\bf h},{\bf k})=-\frac{1}{r}{\bf h}.{\bf k}=-\frac{1}{r}g_{P}({\bf h},{\bf k}).$$

Exemple 7.5.7   Cylindre circulaire droit

Calculons de même l'application de Weingarten du cylindre circulaire droit dans le paramétrage $\varphi$ donné par (38). En le point $P$ de paramètres $(u,v)$, la normale (37) vaut

$$\frac{1}{r}(\varphi-v{\bf e}_{3}).$$

Par conséquent,

$$W_{P}({\bf h})=\frac{1}{r}({\bf h}-({\bf h}.{\bf e}_{3}){\bf e}_{3}).$$

Si $\alpha$ et $\beta$ désignent les angles non orientés que font respectivement les tangentes en $P$ de vecteur-directeurs ${\bf h}$ et ${\bf k}$ avec la tangente orthogonale aux génératrices , on a donc

$$\varpi_{P}({\bf h},{\bf k})=-\frac{1}{r}\vert{\bf h}\vert\vert{\bf k}\vert\cos\alpha\cos\beta.$$