7.5.3 Le théorème de Meusnier

La normale ${\bf n}$ en $P$ à l'arc de courbe $\gamma$ tracé sur $S$ forme avec $N$ un angle non orienté $\theta$. On peut calculer cet angle avec les formes fondamentales.

Figure: $N$ et ${\bf n}$ font un angle calculé grâce au théorème de Meusnier.

Théorème 7.5.9   (Meusnier) Si ${\bf h}\in\overrightarrow{T_{P}S}$ est tangent à un arc régulier de courbe $\Gamma$ tracé sur $S$ dont la normale principale en $P$ fait un angle non orienté $\theta$ avec $N_{P}$, alors

$$\kappa\cos\theta \ g_{P}({\bf h},{\bf h})=\varpi({\bf h},{\bf h}),$$

où $\kappa$ est la courbure de $\Gamma$ en $P$.

Preuve. Paramétrons d'abord $\Gamma$ par l'abscisse curviligne $s$ comptée par exemple à partir de $P$. En désignant par un point la dérivation par rapport à $s$, et en laissant tomber les indices inférieurs ``0" pour alléger les écritures, on obtient successivement

$${\bf t}=\partial_{u}\varphi\dot{u}+\partial_{v}\varphi\dot{v}$$

et

$$\kappa{\bf n} = \dot{{\bf t}}$$

$$= \partial_{uu}^{2}\varphi\dot{u}^{2}+2\partial_{uv}^{2}\varphi\dot... ...^{2}\varphi\dot{v}^{2}+\partial_{u}\varphi\ddot{u}+\partial_{v}\varphi\ddot{v}.$$

En prenant le produit scalaire des deux membres par $N$, cela donne

$$\kappa\cos\theta=\partial_{uu}^{2}\varphi.N\dot{u}^{2}+2\partial_{uv}^{2}\varphi.N\dot{u}\dot{v} +\partial_{vv}^{2}\varphi.N\dot{v}^{2}$$

car $\partial_{u}\varphi.N=0$ et $\partial_{v}\varphi.N=0$. Ces mêmes relations montrent de plus que

$$\begin{array}{cclcl} \partial_{uu}^{... ..._{vv}^{2}\varphi.N\ & = & - \partial_{v}\varphi.\partial_{v}N. & & \end{array}$$

Par conséquent,

$$\kappa\cos\theta=K\dot{u}^{2}+2L\dot{u}\dot{v}+M\dot{v}^{2}.$$

Par ailleurs, on passe du paramètre $s$ à $t$ par la formule

$$f'=\dot{f}\vert\gamma'\vert.$$

Par conséquent,

$$\kappa\cos\theta=(Ku'^{2}+2Lu'v'+Mv'^{2})/\vert\gamma'\vert^{2}.$$

D'où la conclusion puisque

$${\bf h}=\gamma'=\partial_{u}\varphi \ u'+\partial_{v}\varphi \ v'.$$

$\qed$

Figure: Deux courbes tracées sur $S$ et tangentes à ${\bf h}$.