7.8.0.1 Direction limite des plans tangents à une génératrice

Le plan tangent (42) à $\Sigma$ est orthogonal au vecteur normé

$$N_\lambda=\frac{(\gamma'+\lambda{\bf a}')\wedge{\bf a}}{\vert\gamma'+\lambda{\bf a}'\vert}\cdot$$

Il est immédiat que

$$% latex2html id marker 37335\delta=\lim_{\lambda\to±\infty... ...}{\vert{\bf a}'\vert}&si&{\bf a}'\ne{\bf0}. \end{array}\right.$$

Figure: En s'éloignant le long d'une génératrice, le plan tangent tend vers une position limite à laquelle il est orthogonal au point central de la génératrice.

Proposition 7.8.4   Lorsque $P=\varphi(t,\lambda)$ s'éloigne à l'infini sur la génératrice ${\mathcal D}=\gamma(t)+{\rm I\!R}{\bf a}(t)$, le plan tangent $T_{\varphi(t,\lambda)}\Sigma$ tend vers une position limite de normale $\delta$.

(i)Si ${\bf a}'(t)={\bf0}$, $T_{\varphi(t,\lambda)}\Sigma$ est orthogonal à $\delta$ et est tangent à $\Sigma$ en chaque point de ${\mathcal D}$(^7.9);

(ii)Si ${\bf a}'(t)\ne{\bf0}$, il existe un seul $\lambda$ pour lequel $T_{\varphi(t,\lambda)}\Sigma$ est parallèle à $\delta$.

Preuve. La première partie de l'énoncé résulte du calcul préalable de la limite de $N_\lambda$. Si ${\bf a}'(t)={\bf0}$, alors $N_\lambda=\delta$ pour tout $\lambda$. D'où (i). Supposons ${\bf a}'(t)\ne{\bf0}$ et cherchons $\lambda$ pour que ${\bf a}(t)$ et $\delta$ soient des vecteurs directeurs de $T_{\varphi(t,\lambda)}\Sigma$. Ceci revient à demander que $N_\lambda\wedge({\bf a}\wedge\delta)$ soit nul (on ne précise plus $t$ pour alléger l'écriture). Or

$$N_\lambda\wedge({\bf a}\wedge\delta) = (N_\lambda.\delta){\bf a}$$

$$= ±(\frac{(\gamma'+\lambda{\bf a}')\we... ...mbda{\bf a}'\vert}\cdot\frac{{\bf a}'\wedge{\bf a}}{\vert{\bf a}'\vert}){\bf a}$$

$$= ±\frac{\gamma'.{\bf a}'+\lambda\vert{\bf a}'\vert^2}{\vert{\bf a}'\vert\vert\gamma'+\lambda{\bf a}'\vert}{\bf a}.$$

En effet, $(\gamma'\wedge{\bf a}).({\bf a}'\wedge{\bf a})=\gamma'.{\bf a}'$ et $\vert{\bf a}'\wedge{\bf a}\vert^2=\vert{\bf a}'\vert^2$. Par conséquent,

$$\lambda=-\frac{\gamma'.{\bf a}'}{\vert{\bf a}'\vert^2}$$ (7.12)

est la seule valeur de $\lambda$ ayant cette propriété.$\qed$

Le point

$$C=\gamma(t)-\frac{\gamma(t)'.{\bf a}'(t)}{\vert{\bf a}'\vert^2}{\bf a}(t)$$ (7.13)

est le point central de la génératrice ${\mathcal D}$. Lorsque $t$ varie, il décrit la ligne de striction de $\Sigma$(^7.10).

Si ${\bf a}'(t)={\bf0}$, alors on dit que la génératrice ${\mathcal D}$ est cylindrique.

Proposition 7.8.5   Lorsque la ligne de striction est une droite, l'inclinaison des génératrices sur celle-ci est constante.

Preuve. Le vecteur tangent à la ligne de striction est $C'=\gamma'-l{\bf a}'-l'{\bf a}$, où $l$ est égal à (43). En particulier, $C'.{\bf a}'=0$. Puisque la ligne de striction est une droite ${\mathcal S}$, $C'/\vert C'\vert$ est constant (et parallèle à la droite). Par conséquent, $\alpha$ désignant l'angle non orienté entre ${\mathcal S}$ et la génératrice $\gamma+{\rm I\!R}{\bf a}$,

$$(\cos\alpha)'=(\frac{C'}{\vert C'\vert}\cdot{\bf a})'=\frac{C'}{\vert C'\vert}\cdot{\bf a}'=0.$$

L'angle $\alpha$ est donc constant.$\qed$

En raison de cette propriété, lorsque la ligne de striction est une droite, on dit que $\Sigma$ est un conoïde.