4.4.2.2 Distance d'un point à une droite

La distance d'un point $P$ à une droite ${\mathcal D}$ est également réalisée en un point unique $Q$ de ${\mathcal D}$ caractérisé par le fait que $PQ$ soit perpendiculaire à ${\mathcal D}$(^4.3). Nous allons obtenir la formule donnant cette distance lorsque ${\mathcal E}$ est de dimension $3$ et orienté. Supposons ${\mathcal D}$ donné par un de ses points $A$ et un vecteur-directeur ${\bf u}$. Le point $Q$ est cette fois de la forme $A+t{\bf u}$ où $t$ est univoquement déterminé par la condition

$$\overrightarrow{PQ}.{\bf u}=\overrightarrow{PA}.{\bf u}+t\vert{\bf u}\vert^2=0.$$

Le point $Q$ s'appelle encore la projection orthogonale de $P$ sur ${\mathcal D}$. Il se note $pr_{\mathcal D}^\perp(P)$. Cela étant, dans le triangle $APQ$ rectangle en Q,

$$\vert PQ\vert = \vert AP\vert\sin \hat{A}$$

$$= \frac{1}{\vert{\bf u}\vert}(\vert{\bf u}\vert\vert AP\vert\sin \hat{A}).$$

Par conséquent,

$$d(P,{\mathcal D})=\frac{\vert\overrightarrow{AP}\wedge{\bf u}\vert}{\vert{\bf u}\vert}$$

(cf. Proposition 3.5), formule qui vaut encore quand $P$ est sur ${\mathcal D}$.

Figure 5: $d(X,P)\ge d(Q,P)$.