5.3.2.2 Rotations spatiales

Supposons que la dimension de ${\mathcal E}$ soit $3$.

Proposition 5.3.5   Soit une rotation ${\mathcal T}$ de centre $C$ de ${\mathcal E}$, différente de $id_{\mathcal E}$.

(i) Les points fixes de ${\mathcal T}$ forment une droite, l' axe (de rotation) de ${\mathcal T}$.

(ii) Dans un repère orthonormé positif $(C,({\bf e}_1,{\bf e}_2,{\bf e}_3))$, où ${\bf e}_1$ est un vecteur-directeur de l'axe de rotation de ${\mathcal T}$, ${\mathcal T}$ est représenté par

$$% latex2html id marker 33525\left ( \begin{array}{c} x_1\\... ...eft ( \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{array}\right )$$

où $\theta\in[0,2\pi[$ est l'une des solutions de l'équation $2\cos\theta={\rm tr}\ \overrightarrow{{\mathcal T}}-1$(^5.6).

Figure: L'angle d'une rotation spatiale n'est pas univoquement déterminé.

Preuve. (i) Il est clair qu'un vecteur-directeur d'une droite de points fixes de ${\mathcal T}$ est un vecteur propre de $\overrightarrow{{\mathcal T}}$ de valeur propre $1$. Réciproquement, une droite passant par $C$ et admettant un vecteur-directeur qui est un vecteur propre de valeur propre $1$ de $\overrightarrow{{\mathcal T}}$ est une droite de points fixes de ${\mathcal T}$. Comme la dimension de ${\mathcal E}$ est $3$, $\overrightarrow{{\mathcal T}}$ admet trois valeurs propres (comptées avec leurs multiplicités): une est réelle et les deux autres sont soit réelles soit complexes et conjuguées l'une de l'autre. Puisque $\overrightarrow{{\mathcal T}}$ est une application orthogonale, ses valeurs propres réelles sont $±1$. Son déterminant étant positif, $1$ est une valeur propre simple ou bien une valeur propre triple. Dans ce dernier cas, ${\mathcal T}$ est $id_{\mathcal E}$ et dans le premier, il admet exactement une droite de points fixes.

(ii) Les plans perpendiculaires à l'axe ${\mathcal D}$ de rotation sont stabilisés par ${\mathcal T}$. En particulier, la restriction de ${\mathcal T}$ au plan $\alpha=C+>{\bf e}_2,{\bf e}_3<_l$ est une rotation plane. On voit que ${\mathcal T}$ est représenté de la façon indiquée en appliquant la Proposition 3.4. L'angle $\theta$ est alors l'angle orienté entre $\overrightarrow{CX}$ et $\overrightarrow{C{\mathcal T}(X)}$, $X\in\alpha$, $\alpha$ étant rapporté au repère $(C,({\bf e}_2,{\bf e}_3))$. L'axe ${\mathcal D}$ n'a que deux vecteurs-directeurs normés: ${\bf e}_1$ et $-{\bf e}_1$. Si l'on remplace ${\bf e}_1$ par $-{\bf e}_1$, il faut encore échanger ${\bf e}_2$ et ${\bf e}_3$ pour conserver un repère positif de ${\mathcal E}$, ce qui a pour effet de changer l'orientation de $\alpha$ et donc de remplacer $\theta$ par $2\pi-\theta$.$\qed$