On pense que l'origine de la géométrie remonte aux Egyptiens de l'époque des pharaons. Les crues du Nil effaçaient régulièrement les limites des propriétés. Un certain vocabulaire et des moyens de mesure de longueur et de surface étaient donc nécessaires afin de tenir le cadastre et de redessiner les parcelles à chaque décrue. Ce sont vraissemblablement les Grecs qui l'ont par la suite structurée en discipline mathématique: à partir de quelques termes indéfinis (point, droite, plan,...) et de quelques propositions tenues pour vraies (les axiomes), les autres propriétés géométriques sont démontrées, c'est-à-dire obtenues comme conséquences logiques inéluctables des seuls axiomes.
Les axiomes de la géométrie d'Euclide encodent une partie de la réalité, telle qu'elle était perçue à l'époque. Les progrès de la physique nous ont cependant appris qu'ils ne sont pas adaptés à la description de l'univers à très grande ni à très petite échelle. Cela n'invalide pas l'édifice mathématique mais seulement son adéquation comme modèle du cadre dans lequel se déroulent les phénomènes relevant "de l'infiniment petit ou de l'infiniment grand". En interaction permanente avec la physique, la géométrie s'est donc enrichie de concepts et de techniques supplémentaires aptes à rendre compte d'une réalité dont la complexité s'est dévoilée peu à peu.
Voici un panorama sommaire de la géométrie. Schématiquement, la géométrie d'Euclide était consacrée aux plans, aux droites dans le plan et dans
l'espace, et aux coniques. Son extension à des dimensions plus élevées à conduit à remplacer les axiomes initiaux par ceux des espaces vectoriels et a débouché
sur les géométries projective, affine et Euclidienne, que l'on distingue par la nature des propriétés étudiées: d'incidence,
de parallélisme et métriques. Le passage à des coordonnées via des systèmes de références permet de remplacer des problèmes géométriques par des problèmes
d'algèbre ou d'analyse. C'est ce qu'on appelle la géométrie analytique, créée par Descartes. Le pendant analytique de la géométrie
d'Euclide est l'étude des polynômes du premier et du second degré, domaines qui sont probablement les mieux compris et pour lesquels on dispose
d'une panoplie considérable de résultats. La généralisation aux polynômes de degrés arbitraires est l'objet de la géométrie algébrique. Une
autre voie possible consiste à utiliser des fonctions différentiables et les ressources de l'analyse. Cela conduit à la géométrie différentielle d'abord locale (i. e. dans des ouverts< de
) ensuite globale (sur des espaces topologiquement plus complexes). La notion
d'espace au sens d'Euclide y est remplacée par celle de variété différentielle abstraite qui fournit les modèles dont la physique a
désormais besoin: variétés Riemanniennes ou pseudo-Riemanniennes pour décrire l'univers, fibrés principaux et les groupes de Lie pour la
structure fine de la matière et les variétés symplectiques pour la mécanique à notre échelle.
A un niveau techniquement plus élémentaire, la géométrie différentielle est aujourd'hui également utilisée en conception graphique assistée par ordinateur. Elle fournit en effet les outils indispensables à la reproduction bi-dimensionnelle de scènes tri-dimensionnelles. Le passage de l'espace au plan se fait par l'intermédiare de projections (centrales, parallèles,...). L'étude des objets, de leur forme, fait intervenir les propriétés des courbes et des surfaces, en particulier celles relatives à leurs courbures. Dans ces applications, la manière dont les objets géométriques sont représentés numériquement est très sensible car elle conditionne l'efficacité du traitement informatique des problèmes. Elle fait donc l'objet de méthodes spécifiques (spline, B-spline, patch paramétré polynomialement ou rationnellement,...).