3.2.4 Complément orthogonal

L'ensemble $V^\perp$ des vecteurs orthogonaux aux éléments d'un sous-espace vectoriel $V$ de $E$ est son complément orthogonal. C'est un sous-espace vectoriel de $E$.

Proposition 3.2.5   On a ${\rm dim} \ V^\perp={\rm dim} \ E-{\rm dim} \ V$. De plus, $(V^\perp)^\perp=V$.

Preuve. En effet, si ${\mathcal B}$ est une base orthonormée de $E$, les éléments de $V^\perp$ sont les ${\bf a}\in E$ vérifiant

$${\bf a}_{\mathcal B}.{\bf u}_{\mathcal B}=a_1u_1+ \cdots + a_nu_n = 0$$

pour tout ${\bf u}$ dans $V$, c'est-à-dire ceux dont les vecteurs des composantes dans ${\mathcal B}$ décrivent $V^\perp_{\mathcal B}$. La dimension de $V^\perp$ résulte alors de la Proposition 5.9. Il est clair que $V\subset (V^\perp)^\perp$. Puisque les dimensions de $V$ et $(V^\perp)^\perp$ sont égales, ils coïncident donc. $\qed$

Exemple 3.2.6   Complément orthogonal d'un hyperplan vectoriel

L'ensemble des vecteurs orthogonaux à un hyperplan vectoriel est une droite vectorielle, la normale à l'hyperplan, lequel est à son tour formé des vecteurs perpendiculaires à celle-ci. Si, dans une base orthonormée, il admet l'équation cartésienne $a_1u_1+ \cdots + a_nu_n = 0$, alors le vecteur de composantes $a_1, \ldots ,a_n$ lui est orthogonal. Il est commode de dire également que les vecteurs orthogonaux à un hyperplan sont des normales de celui-ci.