7.6 La courbure normale

Le lemme suivant montre que les sections d'une surface par des plans normaux sont, localement, des arcs réguliers de courbes.

Lemme 7.6.1   L'intersection $\Gamma_{\pi}$ de $S$ avec un plan $\pi$ contenant la droite $P+{\rm I\!R}N_{P}$ est, au voisinage de $P$, un arc régulier de courbe.

Preuve. Notons ${\mathcal F}$ la restriction à $\pi$ d'une équation cartésienne $F$ de $S$. Si ${\bf h}\in\overrightarrow{T_{P}S}\cap\overrightarrow{\pi}$ n'est pas nul, alors $(P,(N_{P},{\bf h}))$ est un repère de $\pi$ et l'expression de ${\mathcal F}$ dans les coordonnées $(\alpha,\beta)$ correspondantes est

$${\mathcal F}(\alpha,\beta)=F(P+\alpha N_{P}+\beta {\bf h}).$$

Les dérivées partielles de cette fonction en ${\bf0}$ sont donc

$$% latex2html id marker 36819\begin{array}{ccccc} \partial... ...{\beta} {\mathcal F} & = & grad_{P}F.{\bf h}& = & 0 \end{array}$$

car ${\bf h}$ est perpendiculaire à $N_{P}$. Elles ne sont pas nulles. Par conséquent, ${\mathcal F}$ est une équation cartésienne de $\Gamma_{\pi}$ au voisinage de $P$.$\qed$

Figure: Signe de $\kappa _\pi$ et concavité de la section par un plan normal $\pi$.

Soient un plan $\pi$ normal à $S$ en $P$, c'est-à-dire contenant $P+{\rm I\!R}N_{P}$, et ${\bf h}\in\overrightarrow{T_{P}S}\cap\overrightarrow{\pi}$, non nul. Le rapport

$$\frac{\varpi({\bf h},{\bf h})}{g_{P}({\bf h},{\bf h})}$$ (7.8)

ne change pas lorsqu'on remplace ${\bf h}$ par un quelconque de ses multiples non nuls, par exemple par une tangente unitaire à $\Gamma_{\pi}$. D'après le théorème de Meusnier, c'est donc la courbure de $\Gamma_{\pi}$ en $P$ si $N_{P}$ est orienté vers la concavité de $\Gamma_{\pi}$ et son opposé sinon. On le note $\kappa_{\pi}$. On l'appelle la courbure normale de $S$ en $P$ associée à $\pi$.

Théorème 7.6.2   Lorsque $\pi$ décrit les plans normaux à $S$ en $P$, $\kappa_{\pi}$ atteint un minimum $\kappa_{1}$ et un maximum $\kappa_{2}$. Si $\kappa_{1}<\kappa_{2}$, ils sont associés à des plans orthogonaux. Les valeurs extrêmes $\kappa_{1}$ et $\kappa_{2}$ sont les racines de l'équation en $\lambda$

$$\left\vert \begin{array}{cc} K-\lambda A & L-\lambda B \\ L-\lambda B & M-\lambda C \end{array}\right\vert =0\cdot$$

Preuve. Les valeurs de (39) sont entièrement déterminées par sa restriction aux ${\bf h}$ de longueur $1$. Il atteint donc un minimum et un maximum absolus en de tels ${\bf h}$ car ceux-ci forment un compact sur lequel il est continu.

On peut détecter ces valeurs extrêmes par la règle des multiplicateurs de Lagrange. Quand (39) est évalué en un vecteur de longueur $1$, il se réduit à $\varpi({\bf h},{\bf h})$. Les ${\bf h}$ stationnaires de (39) sous la contrainte $\vert{\bf h}\vert=1$ sont donc ceux pour lesquels il existe $\lambda\in{\rm I\!R}$ tel que

$$\partial_{h_{i}}(\varpi({\bf h},{\bf h})-\lambda(g_{P}({\bf h},{\bf h})-1))=0, \ i=1,2,$$ (7.9)

où $h_{1}, h_{2}$ sont les composantes de ${\bf h}$ dans une base quelconque de $\overrightarrow{T_{P}S}$.

Prenons d'abord une base orthonormée. Cela donne les équations

$$\varpi({\bf e}_{1},{\bf e}_{1})h_{1}+\varpi({\bf e}_{1},{\bf e}_{2})h_{2} = \lambda \ h_{1}$$

$$\varpi({\bf e}_{2},{\bf e}_{1})h_{1}+\varpi({\bf e}_{2},{\bf e}_{2})h_{2} = \lambda \ h_{2}$$

auxquelles il faut ajouter la condition $h_{1}^{2}+h_{2}^{2}=1$. En multipliant la première par $h_{1}$, la seconde par $h_{2}$ puis en les additionnant, on constate que $\lambda=\varpi({\bf h},{\bf h})$. De plus, elles signifient que le vecteur $(h_{1},h_{2})$ est un vecteur propre de valeur propre $\lambda$ de la matrice

$$\left ( \begin{array}{cc} \varpi({\b... ...e}_{2},{\bf e}_{1}) & \varpi({\bf e}_{2},{\bf e}_{2}) \end{array}\right )\cdot$$

Comme elle est symétrique, ses valeurs propres sont réelles et ses vecteurs propres relatifs à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux. Ceci démontre la première partie de l'énoncé.

Le même calcul dans la base $(\partial_{u_{0}}\varphi,\partial_{v_{0}}\varphi)$ donne la forme

$$\left ( \begin{array}{cc} K-\lambda ... ...array}\right) \left ( \begin{array}{c} h_{1} \\ h_{2} \end{array}\right ) =0$$

aux équations (40). Pour que ce système admette une solution non nulle, il faut et il suffit que $\lambda$ annule le déterminant de la matrice des coefficients des inconnues. D'où le théorème.$\qed$

Remarque 7.6.3   Il résulte de la démonstration précédente que les valeurs extrêmes de $\kappa_{\pi}$ et les directions tangentes associées sont les valeurs propres et les vecteurs propres de l'application de $-W_{P}$.

Les nombres $\kappa_{1}$ et $\kappa_{2}$ sont les courbures principales de $S$ en $P$. Quand ils sont distincts, ils sont associés à des plans normaux perpendiculaires qui coupent le plan $T_{P}S$ selon deux tangentes à $S$ dont les directions sont les directions principales de $S$ en $P$.

Lorsque $\kappa_{1}=\kappa_{2}$, toutes les courbures normales de $S$ en $P$ sont égales. Le point $P$ s'appelle alors un ombilic. Il est plat si $\kappa_{1}=\kappa_{2}=0$. Les points d'une sphère sont tous des ombilics, non plats.

Lorsque $\kappa_{1}\neq 0$ ou $\kappa_{2}\neq 0$, alors $P$ est elliptique, parabolique ou hyperbolique selon que, respectivement, $\kappa_{1}\kappa_{2}>0$, $\kappa_{1}\kappa_{2}= 0$ ou $\kappa_{1}\kappa_{2}< 0$.

Le produit $\kappa_{1}\kappa_{2}$ est la courbure de Gauss de $S$ en $P$. La somme $(\kappa_{1}+\kappa_{2})/2$ est sa courbure moyenne.

Les points d'un cylindre circulaire droit sont tous paraboliques. Si $\alpha$ est l'angle non orienté que fait en $P$ la tangente de vecteur-directeur ${\bf h}$ avec la tangente orthogonale aux génératrices, on a vu plus haut que

$$\varpi({\bf h},{\bf h})=-\frac{1}{r}\vert{\bf h}\vert^{2}\cos^{2}\alpha.$$

Par conséquent, la courbure normale associée à un plan normal $\pi$ faisant un angle $\omega$ avec les génératrices vaut

$$\kappa_{\pi}=-\frac{1}{r}\sin^{2}\omega.$$

Elle atteint son minimum $-\frac{1}{r}$ lorsque $\pi$ est orthogonal aux génératrices et son maximum 0 lorsqu'il leur est parallèle. Les directions principales en un point sont donc celles de la génératrice passant par ce point et de la tangente qui lui est perpendiculaire.

En général, la courbure de Gauss est donnée par

$$\kappa_1\kappa_2=\frac{KM-L^2}{AC-B^2}\cdot$$

Remarque 7.6.4   L'application de Weingarten et la seconde forme fondamentale dépendent de l'orientation de $S$. Quand on remplace $N$ par $-N$, elles sont remplacées par leurs opposés. Les courbures normales sont également remplacées par leurs opposés, de même que la courbure moyenne. La courbure de Gauss $\det W_{P}$ est par contre indépendante de l'orientation.