2.6.0.1 Définitions

Un repère de ${\mathcal E}$ est un couple ${\mathcal R}=(O,({\bf e}_1, \ldots ,{\bf e}_n))$ formé d'un point $O$, appelé origine du repère, et d'une base $({\bf e}_1,\ldots ,{\bf e}_n)$ de $\overrightarrow{{\mathcal E}}$. Les coordonnées (cartésiennes) de $A \in {\mathcal E}$ dans ou selon le repère ${\mathcal R}$ sont les composantes de $\overrightarrow{OA}$ dans la base $({\bf e}_1, \ldots ,{\bf e}_n)$.

Figure: Repères, axes et simplexes en dimensions $1$, $2$ et $3$.

Proposition 2.6.1   Si $(O,({\bf e}_1, \ldots ,{\bf e}_n))$ est un repère, alors aucun des points $O, E_1=O+{\bf e}_1, \ldots , E_n=O+{\bf e}_n$ n'est combinaison affine des autres. Réciproquement, si $n={\rm dim} \ {\mathcal E}$ et si aucun des points $O, E_1, \ldots ,E_n$ de ${\mathcal E}$ n'est combinaison affine des autres, alors $(O,(\overrightarrow{OE_1}, \ldots , \overrightarrow{OE_n}))$ est un repère de ${\mathcal E}$.

Preuve. En effet, le fait qu'aucun des points $O, E_1=O+{\bf e}_1, \ldots , E_n=O+{\bf e}_n$ n'est combinaison affine des autres équivaut au fait qu'aucun des vecteurs $\overrightarrow{OE_1}, \ldots , \overrightarrow{OE_n}$ n'est combinaison linéaire des autres, ce qui signifie qu'ils sont linéairement indépendants. $\qed$

On dit que $n+1$ points, où $n = {\rm dim}\ {\mathcal E}$, dont aucun n'est combinaison affine des autres, qu'ils forment un simplexe de ${\mathcal E}$. Pour $n=1$, c'est un segment, pour $n=2$, c'est un triangle et pour $n=3$, un tétraèdre. La proposition ci-dessus montre que se donner un repère ${{\mathcal R}}=(O,({\bf e}_1, \ldots ,{\bf e}_n))$ revient à se donner un simplexe $(O, E_1=O+{\bf e}_1, \ldots , E_n=O+{\bf e}_n)$. Le premier point du simplexe est l'origine du repère. Les autres déterminent les axes $OE_i$ du repère. Ceux-ci sont orientés dans le sens de ${\bf e}_i$, c'est-à-dire de $O$ vers $E_i$.

Si $x_1, \ldots, x_n$ sont les coordonnées de $X \in {\mathcal E}$ dans le repère ${\mathcal R}$ alors on a

$$X = O+x_1{\bf e}_1+ \cdots +x_n{\bf e}_n$$

$$= O + x_1\overrightarrow{OE_1}+ \cdots + x_n\overrightarrow{OE_n}$$

Le point $X_i=O+x_i\overrightarrow{OE_i}$ est donc le point de percée de l'axe $OE_i$ dans l'hyperplan passant par X et parallèle aux autres axes. De plus, $x_i$ est la mesure algébrique de de $\lbrack O, X_i \rbrack$ lorsqu'on prend $\lbrack O, E_i \rbrack$ comme étalon de l'axe $OE_i$.

Figure: Axes et projections parallèles.

Remarque 2.6.2   Il est commode d'appeler la coordonnée de $X$ le point ${\bf x}=(x_1, \ldots , x_n)$ de ${\rm I\!R}^n$ formé des coordonnées de $X$.

La proposition suivante donne un moyen pratique de calculer la coordonnée de certains points.

Proposition 2.6.3   Dans un repère quelconque, la coordonnée d'une combinaison affine $A=\alpha_1 A_1+ \cdots +\alpha_p A_p$ est la combinaison $\alpha_1{\bf a}_1+ \cdots +\alpha_p{\bf a}_p$ des coordonnées ${\bf a}_i$ des $A_i$. De même, si $\alpha_1+ \cdots +\alpha_p=0$, alors le vecteur des composantes de ${\bf u}=\alpha_1A_1+ \cdots +\alpha_pA_p$ dans la base du repère est $\alpha_1{\bf a}_1+ \cdots +\alpha_p{\bf a}_p$.

Preuve. Cela résulte de ce que $\overrightarrow{OA}$ (${\bf u}$ quand $\alpha_1+ \cdots +\alpha_p=0$) vaut

$$\alpha_1\overrightarrow{OA_1}+ \cdots +\alpha_p\overrightarrow{OA_p}.$\qed$$

En particulier, les composantes de $\overrightarrow{XY}$ dans la base d'un repère sont celles de ${\bf y}-{\bf x}$, où ${\bf x}$ et ${\bf y}$ sont les coordonnées de $X$ et $Y$.