5.3.1 Définition

Une application affine ${\mathcal T}:{\mathcal E}\to {\mathcal E}$ est une isométrie si elle conserve les distances, c'est-à-dire si

$$d({\mathcal T}(X),{\mathcal T}(Y))=d(X,Y)$$

pour tous $X, Y\in{\mathcal E}$.

On a vu plus haut que c'est le cas des translations.

Proposition 5.3.1   Une application affine ${\mathcal T}:{\mathcal E}\to {\mathcal E}$ est une isométrie si et seulement si l'application linéaire $\overrightarrow{{\mathcal T}}$ est orthogonale, c'est-à-dire conserve le produit scalaire:

$$\forall \ {\bf u}, {\bf v}\in \overr... ...{{\mathcal T}}({\bf u}).\overrightarrow{{\mathcal T}}({\bf v})={\bf u}.{\bf v}$$

Preuve. L'application affine ${\mathcal T}$ est une isométrie si et seulement si

$$\vert\overrightarrow{{\mathcal T}}(\overrightarrow{XY})\vert=d({\mathcal T}(X),{\mathcal T}(Y))=d(X,Y)=\vert\overrightarrow{XY}\vert$$

pour tous $X, Y\in{\mathcal E}$, autrement dit, si $\overrightarrow{{\mathcal T}}$ conserve la longueur de ses arguments.

Si tel est le cas, alors il conserve le produit scalaire, à cause de la formule

$${\bf u}.{\bf v}=\frac{1}{4}(\vert{\bf u}+{\bf v}\vert^2-\vert{\bf u}-{\bf v}\vert^2)$$

qui exprime le produit scalaire ${\bf u}.{\bf v}$ au moyen des longueurs de combinaisons linéaires de ${\bf u}, {\bf v}\in\overrightarrow{{\mathcal E}}$.

Inversement, il est évident que $\overrightarrow{{\mathcal T}}$ conserve les longueurs de ses arguments s'il conserve le produit scalaire.$\qed$

Corollaire 5.3.2   Une application affine est une isométrie si et seulement si, dans un repère orthonormé, elle est représentée sous la forme (22) où $M$ est une matrice orthogonale. En particulier, si ${\mathcal T}$ est une isométrie, alors elle est bijective et $\det \overrightarrow{{\mathcal T}} =±1$.

Preuve. En effet, la matrice représentant une application orthogonale dans une base orthonormée est orthogonale et réciproquement. De plus, le déterminant d'une matrice orthogonale vaut $±1$.$\qed$

Une isométrie ${\mathcal T}$ est positive ou négative selon que $\det \overrightarrow{{\mathcal T}} =1$ ou $\det \overrightarrow{{\mathcal T}} =-1$ respectivement. Par exemple, lorsque la droite ${\mathcal D}$ est orthogonale à l'hyperplan $\alpha$, la symétrie $s_{\alpha,{\mathcal D}}$ est une isométrie négative. On l'appelle la symétrie orthogonale par rapport à $\alpha$ et on la note $s_\alpha$. On l'appelle encore la réflexion par rapport à $\alpha$ car, en dimension $3$, elle modélise la transformation d'un objet en l'image qu'en donne un miroir plan modélisé par $\alpha$.