4.5 Longueurs, aires et volumes

Longueur, aire et volume sont généralement définis au moyen de l'intégrale de Lebesgue, étudiée en analyse. Pour des figures géométriques ``simples": segment de droites, triangles, parallélogrammes, pyramides, etc. elle rend des formules appartenant à la culture générale et que l'on trouve dans toutes les bonnes encyclopédies. Nous admettrons ces formules qui seront éventuellement justifiées dans le cadre du cours d'analyse. Pour des courbes et surfaces générales, nous reviendrons sur la question dans un chapitre ultérieur.

• La longueur d'un segment de droite $\lbrack A, B \rbrack$ a été définie plus haut, comme la distance séparant ses extrémités.

• L'aire d'un parallélogramme $ABCD$ est le produit des longueurs d'un côté et de la hauteur correspondante, par exemple le côté $\lbrack A,C\rbrack$ et la hauteur issue de $B$. Celle-ci valant $\vert AB\vert\sin \hat{A}$, en dimension $3$, l'aire du parallélogramme vaut donc $\vert\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\vert$. Dans un plan Euclidien rapporté à un repère orthonormé dans lequel les composantes de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont $(u_1,u_2)$ et $(v_1,v_2)$, elle est donnée par
  $$% latex2html id marker 32646\vert\left \vert \begin{array}{cc} u_1&v_1\\ u_2&v_2 \end{array}\right \vert \vert\cdot$$

• Le volume d'un parallélépipède $ABCDA'B'C'D'$, dans lequel $A'B'C'D'$ s'obtient en translatant le parallélogramme $ABCD$, est le produit de l'aire d'une de ses faces par la longueur de la hauteur correspondante. En dimension $3$, ayant choisi une orientation arbitraire, une normale unitaire au plan de $ABCD$ est par exemple
  $$\frac{\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}}{\vert\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\vert}\cdot$$
  La longueur de la hauteur relative à cette face est donc
  $$\frac{\vert(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}).\overrightarrow{AA'}\vert}{\vert\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\vert}\cdot$$
  Ainsi, le volume du parallélépipède est donné par $\lbrack\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AA'}\rbrack$. Dans un repère orthonormé où les composantes de $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AA'}$ sont $(u_1,u_2,u_3)$, $(v_1,v_2,v_3)$ et $(w_1,w_2,w_3)$, il vaut, indé pendamment de l'orientation choisie,
  $$% latex2html id marker 32672\vert\left\vert \begin{array}{... ... u_2&v_2&w_2\\ u_3&v_3&w_3 \end{array}\right\vert\vert\cdot$$