2.7.3 En dimension 2

Supposons que ${\rm dim}\ {\mathcal E}=2$.

La droite passant par $P$ de coordonnée $(p_1,p_2)$ et de vecteur-directeur ${\bf u}$ de composantes $(u_1,u_2)$ admet l'équation cartésienne

$$\frac{x_1-p_1}{u_1}=\frac{x_2-p_2}{u_2}$$

qui traduit le fait que $\overrightarrow{PX}$ est un multiple de ${\bf u}$.

La droite passant par des points distincts $P$ et $Q$ de coordonnées $(p_1,p_2)$ et $(q_1,q_2)$ admet l'équation cartésienne

$$\frac{x_1-p_1}{q_1-p_1}=\frac{x_2-p_2}{q_2-p_2}\cdot$$

Les composantes de son vecteur-directeur $\overrightarrow{PQ}$ sont en effet $(q_1-p_1,q_2-p_2)$. Cette équation s'écrit aussi à l'aide de déterminants sous les formes utiles:

$$% latex2html id marker 30372\left \vert \begin{array}{ccc... ...-p_1&q_1-p_1\\ x_2-p_2&q_2-p_2\\ \end{array}\right \vert =0$$

et

$$% latex2html id marker 30374\left \vert \begin{array}{ccc... ...1&p_1&q_1\\ x_2&p_2&q_2\\ 1&1&1 \end{array}\right \vert =0.$$

Le sous-vectoriel directeur de la droite $\mathcal D$ d'équation cartésienne

$$a_1x_1+a_2x_2+b=0$$

a pour équation

$$a_1u_1+a_2u_2=0.$$

Par conséquent, la droite $\mathcal D'$ d'équation

$$a_1'x_1+a_2'x_2+b'=0$$

est parallèle à $\mathcal D$ si et seulement si (cf. Section 5.5)

$$\frac{a'_1}{a_1}=\frac{a_2'}{a_2}\cdot$$

Elle coïncide alors avec $\mathcal D$ si

$$\frac{a'_1}{a_1}=\frac{a_2'}{a_2}=\frac{b'}{b}\cdot$$

En effet, étant parallèle à $\mathcal D$, elle coïncide avec celle-ci pour autant qu'elle passe par un de ses points. Si $(p_1,p_2)$ sont les coordonnées de ce point, on a

$$\frac{b'}{b}=\frac{-a_1'p_1-a_2'p_2}{-a_1p_1-a_2p_2}=\frac{a'_1}{a_1}=\frac{a_2'}{a_2}\cdot$$

Proposition 2.7.1   Supposons que les droites d'équations ${\bf a}(x)\equiv a_1x_1+a_2x_2+b=0$ et ${\bf a}'(x)\equiv a_1'x_1+a_2'x_2+b'=0$ se coupent en un point $P$. Les droites passant par $P$ sont exactement celles admettant les équations de la forme $r{\bf a}+r'{\bf a}'=0$, où $r$ et $r'$ ne sont pas tous les deux nuls.

Preuve. Puisque les droites données ne sont pas parallèles, $(a_1,a_2)$ et $(a_1',a_2')$ forment une base de ${\rm I\!R}^2$. Une droite quelconque de ${\mathcal E}$ a donc une équation cartésienne de la forme

$$r(a_1x_1+a_2x_2)+r'(a_1'x_1+a_2'x_2)+b''=0, \ (r,r')\ne{\bf0}.$$

Si elle passe par $P$ dont nous noterons $(p_1,p_2)$ les coordonnées, alors

$$b''=-r(a_1p_1+a_2p_2)-r'(a_1'p_1+a_2'p_2)=rb+r'b'.\qed$$