1.5.2 Exemples

Exemple 1.5.2   $\{{\bf0}\}$ et $E$ sont des sous-espaces vectoriels de $E$.

C'est immédiat. Il est commode, et sans réel danger de confusion, de noter $\bf0$ le sous-espace $\{{\bf0}\}$. Un sous-espace vectoriel de $E$ qui n'est ni $\{{\bf0}\}$, ni $E$ est dit propre.

Exemple 1.5.3   L'enveloppe linéaire d'éléments de $E$.

Les formules

$$% latex2html id marker 28056\begin{array}{rcl} (\lambda_1{... ...da_1){\bf u}_1+ \ldots +(\lambda\lambda_p){\bf u}_p \end{array}$$

montrent que l'ensemble des combinaisons linéaires de ${\bf u}_1, \ldots ,{\bf u}_p \in E$ est un sous-espace vectoriel de $E$. On le note

$$>{\bf u}_1, \ldots ,{\bf u}_p<_l.$$

On l'appelle l'enveloppe linéaire de ${\bf u}_1, \ldots ,{\bf u}_p$ ; on dit aussi qu'il est engendré par ${\bf u}_1, \ldots ,{\bf u}_p$.

Exemple 1.5.4   L'ensemble des solutions d'équations homogènes du premier degré.

Vu la Proposition 4.5, les éléments de $E$ dont les composantes $x_1, \ldots, x_n$ dans une base donnée vérifient un système d'équations linéaires homogènes

$$% latex2html id marker 28073\left \{ \begin{array}{rcl} a_... ...ts& \\ a_{k1}x_1 + &\cdots& +a_{kn}x_n =0 \end{array}\right.$$

forment un sous-espace vectoriel de $E$.

Les deux exemples ci-dessus donnent des moyens généraux de construire des sous-espaces vectoriels. Nous allons voir qu'en fait, tout sous-espace vectoriel peut être décrit par l'un et l'autre. Dans le premier cas, nous obtiendrons des équations paramétriques, dans le second, des équations cartésiennes pour les sous-espaces vectoriels. Voici d'abord deux exemples supplémentaires de sous-espaces vectoriels.

Exemple 1.5.5   Les polynômes.

Les polynômes

$$p(t)=a_0+a_1t+\cdots+a_kt^k$$

en la variable $t$ forment un sous-espace vectoriel de l'espace ${\mathcal F}({\rm I\!R},{\rm I\!R})$ des fonctions de ${\rm I\!R}$ dans lui-même (voir l'Exemple 3.4) car la somme et le produit par un nombre de polynômes sont encore des polynômes. De même, les polynômes de degré inférieur ou égal à un nombre donné $n$ constituent aussi un sous-espace vectoriel ${\mathcal F}({\rm I\!R},{\rm I\!R})$.

L'espace des polynômes est utilisé en CAGD (Computer Aided Geometric Design), notamment dans l'étude des courbes de Béziers. A la base naturelle formée des $t^i$, on préfère alors certaines bases plus adaptées aux problèmes rencontrés, comme par exemple celle constituée des polynômes de Bernstein.

Exemple 1.5.6   Les applications linéaires.

Soient des espaces vectoriels $E_1$ et $E_2$. Une application $A:E_1 \to E_2$ est linéaire si elle respecte la somme et la multiplication scalaire, ce qu'on peut résumer par

$$\forall {\bf x}, {\bf y}\in E_1, \fo... ...\in {\rm I\!R}:A(\lambda{\bf x}+\mu{\bf y})=\lambda A({\bf x})+\mu A({\bf y}).$$

Par exemple, le passage aux coordonnées est une bijection linéaire (Proposition 4.5).

Muni des opérations introduites dans l'Exemple 3.4, l'espace ${\mathcal L}(E_1,E_2)$ des applications linéaires de $E_1$ dans $E_2$ est un sous-espace vectoriel de ${\mathcal F}(E_1,E_2)$. Les vérifications sont faciles. Par exemple, si $A, B$ sont linéaires, alors

$$(A+B)(\lambda{\bf x}+\mu{\bf y}) = A(\lambda{\bf x}+\mu{\bf y})+B(\lambda{\bf x}+\mu{\bf y})$$

$$= (\lambda A({\bf x})+\mu A({\bf y}))+(\lambda B({\bf x})+\mu B({\bf y}))$$

$$= \lambda(A({\bf x})+B({\bf x}))+\mu(A({\bf y})+B({\bf y}))$$

$$= \lambda(A+B)({\bf x})+\mu(A+B)({\bf y}).$$

L'espace ${\mathcal L}(E,{\rm I\!R})$ se note $E^*$. On l'appelle le dual de $E$.