6.3.1.5 Paramétrages naturels Ñ Longueur d'arc

Il est utile de trouver des vecteurs tangents à $\Gamma$ qui soient normés. Un paramétrage est naturel si ${\frac{d{\gamma}}{dt}}$ est normé pour tout $t$ dans $I$.

Proposition 6.3.4   Soient un arc paramétré de courbe $\Gamma$, un de ses paramétrages $(I,\gamma)$ et $t_0\in I$.

(i) La fonction

$$\varphi:\ t\in I \mapsto \int_{t_0}^t\vert{\frac{d{\gamma}}{dx}}\vert dx$$ (6.4)

est un changement de paramètres qui transforme $(I,\gamma)$ en un paramétrage naturel.

(ii) Deux paramétrages naturels de $\Gamma$ diffèrent toujours par un changement de paramètres de la forme $s\mapsto ±s+s_0$, où $s_0$ est une constante et où on choisit $+$ s'ils définissent la même orientation de $\Gamma$ et $-$ sinon.

Preuve. La formule (25) montre que $(J,\eta)$ est naturel si et seulement si

$$\vert{\frac{d{\varphi}}{dt}}\vert=\vert{\frac{d{\gamma}}{dt}}\vert\cdot$$

Le point (i) en résulte car la fonction $\varphi$ qui y est proposée possède cette propriété. Inversement, si cette propriété est satisfaite, alors

$${\frac{d{\varphi}}{dt}}=±\vert{\frac{d{\gamma}}{dt}}\vert$$

le signe étant choisi selon l'orientation déterminée par $(J,\eta)$. D'où (ii).$\qed$

Exemple 6.3.5   Le cercle

Le paramétrage (23) du cercle centré en l'origine du repère et de rayon $r$ est naturel. En effet

$${\frac{d{\gamma}}{ds}}=(-\sin\frac{s}{r},\ \cos\frac{s}{r})$$

est de longueur $1$.

La formule de Taylor donne

$$\gamma(t)=\gamma(t_0)+(t-t_0){\frac{d{\gamma}}{dt}}\vert _{t=t_0}+O((t-t_0)^2).$$

La distance entre deux points voisins de $\Gamma$ est donc approximativement

$$\vert\gamma(t)\gamma(t_0)\vert\simeq\vert t-t_0\vert\vert{\frac{d{\gamma}}{dt}}\vert _{t=t_0}\vert.$$

Lorsque $t$ et $t_0$ sont très proches, elle devrait intuitivement différer très peu de la ``longueur" de la portion de $\Gamma$ séparant ces points. Il est donc légitime de dire que, pour $a<b$,

$$\int_{a}^b\vert{\frac{d{\gamma}}{dx}}\vert dx$$

représente la longueur de la portion de $\Gamma$ délimitée par $\gamma(a)$ et $\gamma(b)$. Par exemple, on vérifie que la longueur de la circonférence et de l'hélice (entre 0 et $2\pi$) introduites plus haut sont respectivement $2\pi r$ et $2\pi \sqrt{r^2+h^2}$.

Quand $a>b$, cette intégrale est négative mais l'ordre des points $\gamma(a)$ et $\gamma(b)$ correspond à l'orientation opposée à celle définie par le paramétrage $(I,\gamma)$. Finalement, (26) représente la longueur d'arc parcourue en passant de $t_0$ à $t$, comptée positivement lorsque $\gamma(t)$ suit $\gamma(t_0)$ et négativement lorsqu'il le précède.

Le paramètre intervenant dans un paramétrage naturel s'appelle abscisse curviligne. Il est généralement représenté par la lettre $s$.