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6.3.1.5 Paramétrages naturels Ñ Longueur d'arc

Il est utile de trouver des vecteurs tangents à $ \Gamma$ qui soient normés. Un paramétrage est naturel si $ {\frac{d{\gamma}}{dt}}$ est normé pour tout $ t$ dans $ I$.

Proposition 6.3.4   Soient un arc paramétré de courbe $ \Gamma$, un de ses paramétrages $ (I,\gamma)$ et $ t_0\in I$.

(i) La fonction

$\displaystyle \varphi:\ t\in I \mapsto \int_{t_0}^t\vert{\frac{d{\gamma}}{dx}}\vert dx$ (6.4)

est un changement de paramètres qui transforme $ (I,\gamma)$ en un paramétrage naturel.

(ii) Deux paramétrages naturels de $ \Gamma$ diffèrent toujours par un changement de paramètres de la forme $ s\mapsto ±s+s_0$, où $ s_0$ est une constante et où on choisit $ +$ s'ils définissent la même orientation de $ \Gamma$ et $ -$ sinon.

Preuve. La formule (25) montre que $ (J,\eta)$ est naturel si et seulement si

$\displaystyle \vert{\frac{d{\varphi}}{dt}}\vert=\vert{\frac{d{\gamma}}{dt}}\vert\cdot $

Le point (i) en résulte car la fonction $ \varphi $ qui y est proposée possède cette propriété. Inversement, si cette propriété est satisfaite, alors

$\displaystyle {\frac{d{\varphi}}{dt}}=±\vert{\frac{d{\gamma}}{dt}}\vert $

le signe étant choisi selon l'orientation déterminée par $ (J,\eta)$. D'où (ii).$ \qed $

Exemple 6.3.5   Le cercle

Le paramétrage (23) du cercle centré en l'origine du repère et de rayon $ r$ est naturel. En effet

$\displaystyle {\frac{d{\gamma}}{ds}}=(-\sin\frac{s}{r},\ \cos\frac{s}{r}) $

est de longueur $ 1$.


La formule de Taylor donne

$\displaystyle \gamma(t)=\gamma(t_0)+(t-t_0){\frac{d{\gamma}}{dt}}\vert _{t=t_0}+O((t-t_0)^2). $

La distance entre deux points voisins de $ \Gamma$ est donc approximativement

$\displaystyle \vert\gamma(t)\gamma(t_0)\vert\simeq\vert t-t_0\vert\vert{\frac{d{\gamma}}{dt}}\vert _{t=t_0}\vert. $

Lorsque $ t$ et $ t_0$ sont très proches, elle devrait intuitivement différer très peu de la ``longueur" de la portion de $ \Gamma$ séparant ces points. Il est donc légitime de dire que, pour $ a<b$,

$\displaystyle \int_{a}^b\vert{\frac{d{\gamma}}{dx}}\vert dx $

représente la longueur de la portion de $ \Gamma$ délimitée par $ \gamma(a)$ et $ \gamma(b)$. Par exemple, on vérifie que la longueur de la circonférence et de l'hélice (entre 0 et $ 2\pi$) introduites plus haut sont respectivement $ 2\pi r$ et $ 2\pi \sqrt{r^2+h^2}$.

Quand $ a>b$, cette intégrale est négative mais l'ordre des points $ \gamma(a)$ et $ \gamma(b)$ correspond à l'orientation opposée à celle définie par le paramétrage $ (I,\gamma)$. Finalement, (26) représente la longueur d'arc parcourue en passant de $ t_0$ à $ t$, comptée positivement lorsque $ \gamma(t)$ suit $ \gamma(t_0)$ et négativement lorsqu'il le précède.

Le paramètre intervenant dans un paramétrage naturel s'appelle abscisse curviligne. Il est généralement représenté par la lettre $ s$.

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2002-12-17