1.4.1 Combinaisons linéaires

A l'aide d'additions et de multiplications scalaires, on fabrique des éléments de $E$ de la forme

$$\lambda_1 {\bf x}_1+ \ldots +\lambda_p {\bf x}_p, \ (\lambda_i \in {\rm I\!R}, {\bf x}_i\in E).$$

On les appelle combinaisons linéaires (de ${\bf x}_1$,..., ${\bf x}_p$).

Par exemple, pour tout point ${\bf x}=(x_1, \ldots ,x_n)$ de ${\rm I\!R}^n$ , on a

$${\bf x} =x_1 {\overrightarrow{e}_1} + \ldots + x_n{\overrightarrow{e}_n}$$ (1.1)

où ${\overrightarrow{e}_i}$ est l'élément dont toutes les composantes sont nulles sauf celle de numéro $i$ qui vaut $1$, et c'est clairement la seule manière d'exprimer ${\bf x}$ comme combinaison linéaire de ces vecteurs.