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Algèbre vectorielle

On va illustrer ce qui précède à propos du calcul vectoriel. Une force non nulle $ \overrightarrow{F}$ est caractérisée non seulement par une intensité mais aussi par une direction et un sens.

Figure 1: La force $ \overrightarrow{F}$ s'exerce en $ P$.
\includegraphics{FIG1.EPS}

Par conséquent, elle est généralement décrite par un segment orienté dont la longueur est proportionnelle à l'intensité de la force et dont l'origine est éventuellement le point sur lequel elle s'exerce. La loi de composition des forces est donnée par la "règle du parallélogramme". A priori, elle n'a pas grand chose à voir avec l'addition numérique. Pourtant, il est commode de noter $ \overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}$ la résultante de force s'exerçant en un même point.

Figure: La règle du parallélogramme.
\includegraphics{FIG2.EPS}

Ceci est légitimé par le fait que cette "addition" partage beaucoup de propriétés avec celle des nombres. Par exemple, elle est commutative, ce qui signifie que l'on a toujours

$\displaystyle \overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_1} $

et associative, ce qui signifie que l'ordre selon lequel on groupe plus de deux forces pour les composer est indifférent:

$\displaystyle (\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2})+\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow{F_1}+(\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}). $

Figure 3: La composition des forces est associative.
\includegraphics{FIG3.EPS}

On sait, par une des lois de Coulomb, que la force $ \overrightarrow{F}$ exercée par une distribution de charges électriques sur une charge ponctuelle $ q$ placée en un point $ P$ est proportionnelle à $ q$. Ceci s'écrit $ \overrightarrow{F}=q\overrightarrow{E}$, où $ \overrightarrow{E}$ est le champ électrique en $ P$. Dans le produit $ \overrightarrow{F}=q\overrightarrow{E}$, le rôle de $ q$ n'est pas banal. Non seulement il multiplie l'intensité de $ \overrightarrow{E}$ par $ \vert q\vert$ mais il en affecte le sens qui change ou non selon que $ q<0$ ou $ q>0$. Pourtant, la notation multiplicative est assez appropriée car cette opération a des propriétés formellement semblables à celles du produit de nombres. Par exemple, elle est distributive par rapport à l'addition:

\begin{displaymath} % latex2html id marker 27447\begin{array}{ccc} q(\overrigh... ...w{E}&=&q_1\overrightarrow{E}+q_2\overrightarrow{E}. \end{array}\end{displaymath}

Figure: La multiplication par $ q$ altère l'intensité et le sens de $ \overrightarrow{E}$.
\includegraphics{FIG4.EPS}

Faisant abstraction de la signification physique des symboles $ \overrightarrow{F}$, $ \overrightarrow{E}$, $ q$, ... nous voyons émerger une structure dans laquelle on peut additionner des objets, les multiplier par des nombres, ces deux opérations vérifiant des règles de calculs avec lesquelles nous nous sommes familiarisés depuis les bancs de l'école primaire.

Cette structure mathématique est celle d'espace vectoriel et l'algèbre associée s'appelle le calcul vectoriel. Ces notions sont d'une très grande utilité en physique mais aussi en mathématique, singulièrement en géométrie.

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2002-12-17