6.2.2 Dérivée des fonctions à valeurs dans ${\mathcal E}$

Soit une fonction $f:\Omega\to{\mathcal E}$, où $\Omega$ est un ouvert de ${\rm I\!R}^p$. Les composantes de $f$ dans un repère ${\mathcal R}$ sont des fonctions ordinaires $f_1, \ldots ,f_n$ en les arguments $(\lambda_1, \ldots ,\lambda_p)\in\Omega$ de $f$. Nous dirons que $f$ est continu, dérivable, etc. dans $\Omega$ si ces fonctions le sont au sens usuel de l'analyse. Il s'agit de nouveau de propriétés indépendantes du repère, car lors d'un changement de repère, les nouvelles composantes de $f$ sont des combinaisons linéaires des anciennes. Elles possèdent donc les mêmes propriétés analytiques que celles-ci.

Les dérivées de $f$ ont une interprétation géométrique utile: ce sont des éléments de $\overrightarrow{{\mathcal E}}$. Expliquons cela à propos de la dérivée de $f$ dans une direction $\mu\in{\rm I\!R}^p$ en un point $\lambda\in\Omega$. Lorsque l'argument de $f$ passe de $\lambda$ à $\lambda+t \mu$, l'image de $f$ subit une translation de vecteur

$$\overrightarrow{f(\lambda)f(\lambda+t\mu)}=f(\lambda+t\mu)-f(\lambda).$$

Le quotient

$$\frac{f(\lambda+t\mu)-f(\lambda)}{t}$$

dont la limite est la dérivée éventuelle de $f$ est donc un élément de $\overrightarrow{{\mathcal E}}$ qui représente en quelque sorte la translation moyenne résultant du changement d'argument. Voici comment on peut calculer pratiquement cette dérivée. Ci-dessous, $\partial_i$ représente la dérivée partielle par rapport à la variable de numéro $i$, convention que nous utiliserons régulièrement par la suite.

Proposition 6.2.4   Soient une fonction $f:\Omega\to{\mathcal E}$ de classe $C_1$, où $\Omega$ est un ouvert de ${\rm I\!R}^p$ et $\lambda\in\Omega$. La limite

$$f_{_{*\lambda}}\mu=\lim_{t\to0}\frac{1}{t}\overrightarrow{f(\lamb... ...im_{t\to0}\frac{f(\lambda+t\mu)-f(\lambda)}{t}\in\overrightarrow{{\mathcal E}}$$

existe pour chaque $\mu\in{\rm I\!R}^p$. Elle dépend linéairement de $\mu$. Ses composantes dans un repère arbitraire de ${\mathcal E}$ sont données matriciellement par

$$% latex2html id marker 33854\left ( \begin{array}{ccc} \pa... ...begin{array}{c} \mu_1\\ \vdots\\ \mu_p \end{array}\right )$$

où les $f_i$ sont les composantes de $f$ dans le repère.

La preuve est analogue à celle de la propriété précédente. Nous ne la détaillerons pas. On désigne aussi $f_{_{*\lambda}}\mu$ par $D_\lambda f\mu$. Quand $\mu$ est un des vecteurs $\overrightarrow{e_i}$ de la base canonique de ${\rm I\!R}^p$, il n'y a pas d'inconvénient à le désigner comme une dérivée partielle, c'est-à-dire par $\frac{\partial f}{\partial\lambda_i}$, voire par $\partial_if$.