2.3.4 Rapport de section

Les nombres $(\alpha,\beta)=(1-\lambda,\lambda), \ \alpha+\beta=1$, sont les coordonnées barycentriques de $X=\alpha A+ \beta B$ (par rapport à $A$ et $B$). Le nombre

$$\sigma_{A,B}(X)=\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\lambda}{1-\lambda}$$

est le rapport de section de $X$ par rapport à $A$ et $B$. Comme $\overrightarrow{XB}=(1-\lambda) \overrightarrow{AB}$, on le note encore

$$\frac{\overrightarrow{AX}}{\overrightarrow{XB}}.$$

Le graphe de la fonction

$$\sigma(\lambda)=\frac{\lambda}{1-\lambda}$$

Figure 8: Le rapport de section.

est une hyperbole équilatère dont les asymptotes ont pour équations $\lambda = 1$ et $\sigma = -1$. Les points du segment $\lbrack A, B \rbrack$, sauf $B$ qui n'en a pas et $A$ pour lequel il est nul, ont un rapport de section positif. Si on oriente $AB$ de $A$ vers $B$, alors pour les points avant $A$, $-1 < \sigma <0$ tandis que pour ceux au-delà de $B$, $\sigma <-1$.

Remarque 2.3.3   On définit parfois le rapport de section $\sigma_{A,B}(X)$ comme étant l'ensemble $(\alpha:\beta)$ des couples $(r,s)$ tels que $\alpha s=\beta r$. De la sorte, tous les points de $AB$ ont un rapport de section, celui de $B$ étant $(0:1)$.

Le milieu du segment $\lbrack A, B \rbrack$ est le point dont le rapport de section par rapport à $A$ et $B$ est $1$. C'est le centre de gravité $\frac{1}{2}A+\frac{1}{2}B$ de $A$ et $B$.