7.8.0.2 Position des plans tangents le long d'une génératrice non cylindrique

Lorsque $\lambda$ varie de $-\infty$ à $+\infty$, le plan (42) pivote le long de la génératrice ${\mathcal D}$. L'angle qu'il fait est contrôlé par la distance de $P=\varphi(t,\lambda)$ au point central de ${\mathcal D}$.

Proposition 7.8.6   Si ${\mathcal D}$ est non cylindrique, alors la tangente de l'angle que font les plans tangents à $\Sigma$ en $P$ et en le point central $C$ de ${\mathcal D}$ est un multiple constant de la distance $d(P,C)$.

Figure: La position du plan tangent le long de la génératrice est déterminée par la distance au point central.

Preuve. (Les plans tangents considérés sont ceux qui correspondent à une même valeur de $t$.) Notons $\theta'$ l'angle de deux droites parallèles respectivement à $N_\lambda$ et $\delta$. On a

$$% latex2html id marker 37500\begin{array}{ccccc} \cos\thet... ...\bf a}'\vert\vert\gamma'+\lambda{\bf a}'\vert}\cdot \end{array}$$

Par ailleurs, vu (44),

$$d(P,C)=\frac{\vert\gamma'.{\bf a}'+\lambda\vert{\bf a}'\vert^2\vert}{\vert{\bf a}'\vert^2}$$

si bien que

$$d(P,C)\ {\rm tg}\ \theta'=\frac{\vert[\gamma',{\bf a}',{\bf a}]\vert}{\vert{\bf a}'\vert^2},$$

quantité qui ne dépend que de la génératrice ${\mathcal D}$. Elle n'est pas nulle. En effet, dans le cas contraire, $\gamma'$, ${\bf a}'$ et ${\bf a}$ sont linéairement dépendants et il existe $p$, $q$, $r$ non tous nuls tels que

$$p\ \gamma'+q\ {\bf a}'+s\ {\bf a}={\bf0}.$$

Le nombre $p$ n'est pas nul car ${\bf a}'$ et ${\bf a}$, étant non nuls et orthogonaux, sont linéairement indépendants. Par conséquent

$$\gamma'+\frac{q}{p}{\bf a}'+\frac{s}{p}{\bf a}={\bf0}$$

ce qui contredit le fait que $\gamma'+\lambda{\bf a}'$ et ${\bf a}$ sont linéairement indépendants pour tout $t$ et tout $\lambda$. L'angle $\theta$ entre les plans tangents en $\varphi(t,\lambda)$ et $C$ vaut $\frac{\pi}{2}-\theta'$. Sa tangente est donc

$${\rm tg}\ \theta=k\ d(P,C)$$

où le nombre

$$k=\frac{\vert{\bf a}'\vert^2}{\vert[\gamma',{\bf a}',{\bf a}]\vert}$$

dépend seulement de la génératrice ${\mathcal D}$.$\qed$

Le nombre $k$ s'appelle le paramètre de distribution de la génératrice ${\mathcal D}$.