6.4.3 Les courbes du second degré

Une fonction $F$ d'un espace affine dans ${\rm I\!R}$ qui s'exprime sous la forme d'un polynôme d'un certain degré $d$ dans un repère, s'exprime de la même façon dans tous les repères. En effet, lors d'un changement de repères, les coordonnées relatives à l'un d'eux sont des fonctions du premier degré en les coordonnées relatives à l'autre. Par conséquent, un polynôme de degré $d$ en les anciennes coordonnées est transformé en un polynôme du même degré en les nouvelles coordonnées puisqu'une somme de produits d'au plus $d$ facteurs du premier degré donne des monômes de degré au maximum égal à $d$.

L'étude systématique des ensembles de points dont les coordonnées annulent un certains nombre de polynômes relève sur la géométrie algébrique. Dans un espace de dimension quelconque, les équations du premier degré décrivent les variétés affines et celles du second degré conduisent aux quadriques. Dans le cas particulier de la dimension deux, ils s'agit des coniques.

Dans le reste de ce chapitre, ${\mathcal E}$ désigne encore un espace affine Euclidien de dimension $2$ et orienté.