5.2.2 Caractérisation

Voici une caractérisation intéressante des applications affines. On note $n$ la dimension de ${\mathcal E}$.

Proposition 5.2.5   Soient une application ${\mathcal T}:{\mathcal E}\to {\mathcal E}$ et un repère ${\mathcal R}=(O,({\bf e}_1, \ldots ,{\bf e}_n))$ de ${\mathcal E}$ et $A \in {\mathcal E}$. Les propositions suivantes sont équivalentes.

(i) L'application ${\mathcal T}$ est affine.

(ii) Il existe une unique application linéaire $\overrightarrow{{\mathcal T}}: \overrightarrow{{\mathcal E}} \to \overrightarrow{{\mathcal E}}$ telle que

$${\mathcal T}(X)={\mathcal T}(A)+\overrightarrow{{\mathcal T}}(\overrightarrow{AX})$$

pour tous $X \in {\mathcal E}$.

(iii) L'application ${\mathcal T}$ est représentée dans le repère ${\mathcal R}$ par

$${\bf x}\mapsto M{\bf x}+{\bf p}$$ (5.1)

où $M$ est une matrice carrée de dimension $n$ et ${\bf p}\in{\rm I\!R}^n$.

De plus, quand ${\mathcal T}$ est affine, l'application $\overrightarrow{{\mathcal T}}$ ne dépend pas de $A$.

Figure: ${\mathcal T}$ est linéaire entre les espaces de vecteurs liés en des points se correspondant.

Preuve. (i) entraîne (ii). Supposons que ${\mathcal T}$ soit affine. Il existe au plus une application $\overrightarrow{{\mathcal T}}$ ayant la propriété demandée car celle-ci exige de poser, pour tout ${\bf u}\in\overrightarrow{{\mathcal E}}$,

$$\overrightarrow{{\mathcal T}}({\bf u})={\mathcal T}(A+{\bf u})-{\mathcal T}(A).$$

Nous allons vérifier que cette définition ne dépend pas du choix de $A$ et qu'elle donne une application linéaire. Pour prouver l'indépendance par rapport au choix de $A$, notons que, $B$ étant un point quelconque, $B+{\bf u}$ est la combinaison affine

$$B+{\bf u}=(A+{\bf u})+B-A$$

de $A$, $B$ et $A+{\bf u}$.

Figure: Un sommet d'un parallélogramme est combinaison affine des autres.

Par conséquent

$${\mathcal T}(B+{\bf u})={\mathcal T}(A+{\bf u})+{\mathcal T}(B)-{\mathcal T}(A)$$

ce qui s'écrit aussi

$${\mathcal T}(B+{\bf u})-{\mathcal T}(B)={\mathcal T}(A+{\bf u})-{\mathcal T}(A).$$

Vérifions ensuite que $\overrightarrow{{\mathcal T}}$ est linéaire. Soient $\lambda, \mu \in {\rm I\!R}$ et ${\bf u}, {\bf v}\in \overrightarrow{{\mathcal E}}$. Le point $A+\lambda{\bf u}+\mu{\bf v}$ est la combinaison affine

$$(1-\lambda-\mu)A+\lambda(A+{\bf u})+\mu(A+{\bf v})$$

de $A$, $A+{\bf u}$ et $A+{\bf v}$. Par suite,

$${\mathcal T}(A+\lambda {\bf u})+\mu ... ...\mu){\mathcal T}(A)+\lambda{\mathcal T}(A+{\bf u})+\mu{\mathcal T}(A+{\bf v}),$$

égalité qu'on peut relire en

$$\overrightarrow{{\mathcal T}}(\lambd... ...errightarrow{{\mathcal T}}({\bf u})+\mu\overrightarrow{{\mathcal T}}({\bf v}).$$

(ii) entraîne (iii). Dans la base ${\mathcal B}=({\bf e}_1, \ldots ,{\bf e}_n)$ de $\overrightarrow{{\mathcal E}}$, l'application linéaire $\overrightarrow{{\mathcal T}}$ est représentée par une matrice carrée $M$ de dimension $n$, c'est-à-dire que les composantes de $\overrightarrow{{\mathcal T}}({\bf u})$ s'obtiennent en appliquant $M$ à celles de ${\bf u}$:

$$\overrightarrow{{\mathcal T}}({\bf u})_{\mathcal B}=M{\bf u}_{\mathcal B}.$$

Si ${\bf x}$ et ${\bf a}$ sont les coordonnées respectives de $X$ et de $A$ dans le repère ${\mathcal R}$, alors les composantes de $\overrightarrow{{\mathcal T}}(\overrightarrow{AX})$ sont donc $M({\bf x}-{\bf a})$. Dès lors, en notant ${\bf a}'$ la coordonnée de ${\mathcal T}(A)$, celle de ${\mathcal T}(X)$ s'écrit

$${\bf a}'+M({\bf x}-{\bf a})=M{\bf x}+{\bf p}$$

à condition de poser ${\bf p}={\bf a}'-M{\bf a}$.

(iii) entraîne (i). C'est évident.$\qed$

La proposition précedente stipule qu'une application affine ${\mathcal T}$ est caractérisée par l'image $A'={\mathcal T}(A)$ d'un point $A$ et par une application linéaire entre les espaces de vecteurs liés ${\mathcal E}_A$ et ${\mathcal E}_{A'}$, qui est de plus indépendante du point $A$.

Lorsque ${\mathcal T}$ est une translation ou une homothéthie de rapport $k$, $\overrightarrow{{\mathcal T}}$ est $id_{\overrightarrow{{\mathcal E}} }$ ou $k \ id_{\overrightarrow{{\mathcal E}} }$ respectivement.

On voit facilement que si ${\mathcal S}$ et ${\mathcal T}$ sont des apllications affines, alors

$$\overrightarrow{{\mathcal S}\circ{\mathcal T}}=\overrightarrow{{\mathcal S}}\circ\overrightarrow{{\mathcal T}}.$$

Remarque 5.2.6   Il est utile de retenir que, dans (iii), la matrice $M$ est celle qui représente $\overrightarrow{{\mathcal T}}$ dans la base $({\bf e}_1, \ldots ,{\bf e}_n)$ de $\overrightarrow{{\mathcal E}}$. Pour rappel, la colonne de numéro $i$ de $M$ est formée des composantes de $\overrightarrow{{\mathcal T}}({\bf e}_i)$.

Exemple 5.2.7   Les symétries $s_{\alpha,{\mathcal D}}$

Soient un hyperplan $\alpha$ et une droite ${\mathcal D}$ non parallèle à $\alpha$. Le symétrique de $A \in {\mathcal E}$ par rapport à $\alpha$ parallèlement à ${\mathcal D}$ est l'unique point $A'=s_{\alpha,{\mathcal D}}(A)$ formant avec $A$ un segment parallèle à ${\mathcal D}$ et dont le milieu appartient à $\alpha$. L'application $A \mapsto s_{\alpha,{\mathcal D}}(A)$ est une affinité. En effet, dans un repère ${\mathcal R}=(O,({\bf e}_1, \ldots ,{\bf e}_n))$ où $O$ est le point de percée de ${\mathcal D}$ dans $\alpha$, où $({\bf e}_1, \ldots ,{\bf e}_{n-1})$ est une base de $\overrightarrow{\alpha}$ et ${\bf e}_n$ est un vecteur-directeur de ${\mathcal D}$, elle est représentée sous la forme (21) avec ${\bf p}={\bf0}$ et

$$M= {\rm diag}\ (1, \ldots ,1,-1).$$

Exemple 5.2.8   Les projections parallèles $pr_{\alpha,{\mathcal D}}$ et $pr_{{\mathcal D},\alpha}$ (^5.2)

Figure: Symétrie et projections.

Soient encore un hyperplan $\alpha$ et une droite ${\mathcal D}$ non parallèle à $\alpha$. La projection de $A \in {\mathcal E}$ sur $\alpha$ parallèlement à ${\mathcal D}$ est le point de percée $pr_{\alpha,{\mathcal D}}(A)$ dans $\alpha$ de la droite passant par $A$ et parallèle à ${\mathcal D}$(^5.3). L'application $A \mapsto pr_{\alpha,{\mathcal D}}(A)$ est affine car, dans un repère comme dans l'exemple précédent, elle est représentée sous la forme (21) avec ${\bf p}={\bf0}$ et

$$M= {\rm diag}\ (1, \ldots ,1,0).$$

Semblablement, l'application qui transforme $A$ en sa projection sur ${\mathcal D}$ parallèlement à $\alpha$, point de percée $pr_{{\mathcal D},\alpha}(A)$ de ${\mathcal D}$ dans l'hyperplan plan parallèle à $\alpha$ passant par $A$, est affine. On a encore ${\bf p}={\bf0}$ tandis que

$$M= {\rm diag}\ (0, \ldots ,0,1).$$

Remarque 5.2.9   Si les applications affines ${\mathcal S}$ et ${\mathcal T}$ sont représentées dans un repère ${\mathcal R}$ par les applications

$${\bf x}\mapsto M{\bf x}+{\bf p}$$ (5.2)

et

$${\bf x}\mapsto N{\bf x}+{\bf q}$$

respectivement, alors la composée ${\mathcal S}\circ{\mathcal T}$ l'est par

$${\bf x}\mapsto MN{\bf x}+M{\bf q}+{\bf p}.$$

Ceci montre que

$$% latex2html id marker 33182 (M,{\bf p}) \mapsto\left ( \begin{array}{ccc} M&{\bf p}\\ {\bf0}&1 \end{array} \right )$$

transforme la composition des applications de la forme (22) en le produit de matrices(^5.4).

Proposition 5.2.10   Soient un simplexe $A_0, \ldots ,A_n$ et des points $A'_0, \ldots ,A'_n$ de ${\mathcal E}$. Il existe une seule application affine ${\mathcal T}$ de ${\mathcal E}$ qui, pour chaque $i\in \{1, \ldots ,n\}$, transforme $A_i$ en $A'_i$. C'est une affinité si et seulement si $A'_0, \ldots ,A'_n$ forment également un simplexe.

Preuve. Puisque $A_0, \ldots ,A_n$ forment un simplexe, $(A_0,(\overrightarrow{A_0A_1}\ldots ,\overrightarrow{A_0A_n}))$ est un repère de ${\mathcal E}$. L'application affine représentée dans celui-ci sous la forme (22) en prenant pour $M$ la matrice dont les colonnes sont les composantes de $\overrightarrow{A'_0A'_1}, \ldots ,\overrightarrow{A'_0A'_n}$ et pour ${\bf p}$ la coordonnée de $A'_0$, transforme évidemment chaque $A_i$ en son homologue $A'_i$. C'est clairement la seule application affine ayant cette propriété. C'est une affinité à condition que la matrice $M$ soit non singulière, c'est-à-dire que $(\overrightarrow{A'_0A'_1}, \ldots ,\overrightarrow{A'_0A'_n})$ soit une base. Ceci équivaut au fait que $A'_0, \ldots ,A'_n$ forment un simplexe.$\qed$