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Voici une caractérisation intéressante des applications affines. On note la dimension de
.
Proposition 5.2.5
Soient une application
et un repère
de
et
. Les propositions suivantes sont équivalentes.
(i) L'application
est affine.
(ii) Il existe une unique application linéaire
telle que
pour tous
.
(iii) L'application
est représentée dans le repère
par
|
(5.1) |
où
est une matrice carrée de dimension
et
.
De plus, quand
est affine, l'application
ne dépend pas de .
Figure:
est linéaire entre les espaces de vecteurs liés en des points se correspondant.
|
Preuve. (i) entraîne (ii). Supposons que
soit affine. Il existe au plus une application
ayant la propriété demandée car celle-ci exige de
poser, pour tout
,
Nous allons vérifier que cette définition ne
dépend pas du choix de et qu'elle donne une application linéaire. Pour prouver l'indépendance par rapport au choix de , notons que, étant un point
quelconque, est la combinaison affine
de , et .
Figure:
Un sommet d'un parallélogramme est combinaison affine des autres.
|
Par conséquent
ce qui s'écrit aussi
Vérifions ensuite que
est linéaire. Soient
et
. Le point
est la combinaison affine
de , et . Par suite,
égalité qu'on peut relire en
(ii) entraîne (iii). Dans la base
de
, l'application linéaire
est représentée par une matrice carrée
de dimension , c'est-à-dire que les composantes de
s'obtiennent en appliquant à celles de :
Si et sont les coordonnées respectives de et de dans le repère
, alors les composantes de
sont donc
. Dès lors, en notant la coordonnée de
, celle de
s'écrit
à condition de poser
.
(iii) entraîne (i). C'est évident.
La proposition précedente stipule qu'une application affine
est caractérisée par l'image
d'un point et par une application
linéaire entre les espaces de vecteurs liés
et
, qui est de plus indépendante du point .
Lorsque
est une translation ou une homothéthie de rapport ,
est
ou
respectivement.
On voit facilement que si
et
sont des apllications affines, alors
Remarque 5.2.6
Il est utile de retenir que, dans (iii), la matrice
est celle qui représente
dans la base
de
. Pour rappel, la colonne de numéro
de
est formée des composantes de
.
Exemple 5.2.7
Les symétries
Soient un hyperplan et une droite
non parallèle à . Le symétrique de
par rapport à
parallèlement à
est l'unique point
formant avec un segment parallèle à
et dont le milieu appartient à .
L'application
est une affinité. En effet, dans un repère
où est le point de
percée de
dans , où
est une base de
et est un vecteur-directeur de
, elle est représentée
sous la forme (21) avec
et
Exemple 5.2.8
Les projections parallèles
et
(
5.2)
Figure:
Symétrie et projections.
|
Soient encore un hyperplan et une droite
non parallèle à . La projection de
sur parallèlement à
est le
point de percée
dans de la droite passant par et parallèle à
(5.3). L'application
est
affine car, dans un repère comme dans l'exemple précédent, elle est représentée sous la forme (21) avec
et
Semblablement, l'application qui transforme en sa projection sur
parallèlement à , point de percée
de
dans l'hyperplan plan parallèle à passant par , est affine. On a encore
tandis que
Remarque 5.2.9
Si les applications affines
et
sont représentées dans un repère
par les applications
|
|
|
(5.2) |
et
respectivement, alors la composée
l'est par
Ceci montre que
transforme la composition des applications de la forme (
22) en le produit de matrices(
5.4).
Proposition 5.2.10
Soient un simplexe
et des points
de
.
Il existe une seule application affine
de
qui, pour chaque
, transforme
en
.
C'est une affinité si et seulement si
forment également un simplexe.
Preuve. Puisque
forment un simplexe,
est un repère de
.
L'application affine représentée dans celui-ci sous la forme (22) en prenant pour la matrice dont les colonnes sont les composantes de
et pour la coordonnée de , transforme évidemment chaque en son homologue . C'est clairement la
seule application affine ayant cette propriété. C'est une affinité à condition
que la matrice soit non singulière, c'est-à-dire que
soit une base. Ceci équivaut au fait que
forment un simplexe.
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2002-12-17