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5.2.2 Caractérisation

Voici une caractérisation intéressante des applications affines. On note $ n$ la dimension de $ {\mathcal E}$.

Proposition 5.2.5   Soient une application $ {\mathcal T}:{\mathcal E}\to {\mathcal E}$ et un repère % latex2html id marker 32874
$ {\mathcal R}=(O,({\bf e}_1, \ldots ,{\bf e}_n))$ de $ {\mathcal E}$ et $ A \in {\mathcal E}$. Les propositions suivantes sont équivalentes.

(i) L'application $ {\mathcal T}$ est affine.

(ii) Il existe une unique application linéaire $ \overrightarrow{{\mathcal T}}: \overrightarrow{{\mathcal E}} \to \overrightarrow{{\mathcal E}}$ telle que

$\displaystyle {\mathcal T}(X)={\mathcal T}(A)+\overrightarrow{{\mathcal T}}(\overrightarrow{AX})
$

pour tous $ X \in {\mathcal E}$.

(iii) L'application $ {\mathcal T}$ est représentée dans le repère $ {\mathcal R}$ par

% latex2html id marker 32892
$\displaystyle {\bf x}\mapsto M{\bf x}+{\bf p}$ (5.1)

$ M$ est une matrice carrée de dimension $ n$ et % latex2html id marker 32898
$ {\bf p}\in{\rm I\!R}^n$.

De plus, quand $ {\mathcal T}$ est affine, l'application $ \overrightarrow{{\mathcal T}}$ ne dépend pas de $ A$.

Figure: $ {\mathcal T}$ est linéaire entre les espaces de vecteurs liés en des points se correspondant.
\includegraphics{FIG46.EPS}


Preuve. (i) entraîne (ii). Supposons que $ {\mathcal T}$ soit affine. Il existe au plus une application $ \overrightarrow{{\mathcal T}}$ ayant la propriété demandée car celle-ci exige de poser, pour tout % latex2html id marker 32918
$ {\bf u}\in\overrightarrow{{\mathcal E}}$,

% latex2html id marker 32920
$\displaystyle \overrightarrow{{\mathcal T}}({\bf u})={\mathcal T}(A+{\bf u})-{\mathcal T}(A).
$

Nous allons vérifier que cette définition ne dépend pas du choix de $ A$ et qu'elle donne une application linéaire. Pour prouver l'indépendance par rapport au choix de $ A$, notons que, $ B$ étant un point quelconque, % latex2html id marker 32928
$ B+{\bf u}$ est la combinaison affine

% latex2html id marker 32930
$\displaystyle B+{\bf u}=(A+{\bf u})+B-A
$

de $ A$, $ B$ et % latex2html id marker 32936
$ A+{\bf u}$.

Figure: Un sommet d'un parallélogramme est combinaison affine des autres.
\includegraphics{FIG47.EPS}


Par conséquent

% latex2html id marker 32942
$\displaystyle {\mathcal T}(B+{\bf u})={\mathcal T}(A+{\bf u})+{\mathcal T}(B)-{\mathcal T}(A)
$

ce qui s'écrit aussi

% latex2html id marker 32944
$\displaystyle {\mathcal T}(B+{\bf u})-{\mathcal T}(B)={\mathcal T}(A+{\bf u})-{\mathcal T}(A).
$

Vérifions ensuite que $ \overrightarrow{{\mathcal T}}$ est linéaire. Soient % latex2html id marker 32948
$ \lambda, \mu \in {\rm I\!R}$ et % latex2html id marker 32950
$ {\bf u}, {\bf v}\in \overrightarrow{{\mathcal E}}$. Le point % latex2html id marker 32952
$ A+\lambda{\bf u}+\mu{\bf v}$ est la combinaison affine

% latex2html id marker 32954
$\displaystyle (1-\lambda-\mu)A+\lambda(A+{\bf u})+\mu(A+{\bf v})
$

de $ A$, % latex2html id marker 32958
$ A+{\bf u}$ et % latex2html id marker 32960
$ A+{\bf v}$. Par suite,

% latex2html id marker 32962
$\displaystyle {\mathcal T}(A+\lambda {\bf u})+\mu ...
...\mu){\mathcal T}(A)+\lambda{\mathcal T}(A+{\bf u})+\mu{\mathcal T}(A+{\bf v}),
$

égalité qu'on peut relire en

% latex2html id marker 32964
$\displaystyle \overrightarrow{{\mathcal T}}(\lambd...
...errightarrow{{\mathcal T}}({\bf u})+\mu\overrightarrow{{\mathcal T}}({\bf v}).
$

(ii) entraîne (iii). Dans la base % latex2html id marker 32966
$ {\mathcal B}=({\bf e}_1, \ldots ,{\bf e}_n)$ de $ \overrightarrow{{\mathcal E}} $, l'application linéaire $ \overrightarrow{{\mathcal T}}$ est représentée par une matrice carrée $ M$ de dimension $ n$, c'est-à-dire que les composantes de % latex2html id marker 32976
$ \overrightarrow{{\mathcal T}}({\bf u})$ s'obtiennent en appliquant $ M$ à celles de % latex2html id marker 32980
$ {\bf u}$:

% latex2html id marker 32982
$\displaystyle \overrightarrow{{\mathcal T}}({\bf u})_{\mathcal B}=M{\bf u}_{\mathcal B}.
$

Si % latex2html id marker 32984
$ {\bf x}$ et % latex2html id marker 32986
$ {\bf a}$ sont les coordonnées respectives de $ X$ et de $ A$ dans le repère $ {\mathcal R}$, alors les composantes de $ \overrightarrow{{\mathcal T}}(\overrightarrow{AX})$ sont donc % latex2html id marker 32996
$ M({\bf x}-{\bf a})$. Dès lors, en notant % latex2html id marker 32998
$ {\bf a}'$ la coordonnée de $ {\mathcal T}(A)$, celle de $ {\mathcal T}(X)$ s'écrit

% latex2html id marker 33004
$\displaystyle {\bf a}'+M({\bf x}-{\bf a})=M{\bf x}+{\bf p}
$

à condition de poser % latex2html id marker 33006
$ {\bf p}={\bf a}'-M{\bf a}$.

(iii) entraîne (i). C'est évident.$ \qed $


La proposition précedente stipule qu'une application affine $ {\mathcal T}$ est caractérisée par l'image $ A'={\mathcal T}(A)$ d'un point $ A$ et par une application linéaire entre les espaces de vecteurs liés $ {\mathcal E}_A$ et $ {\mathcal E}_{A'}$, qui est de plus indépendante du point $ A$.

Lorsque $ {\mathcal T}$ est une translation ou une homothéthie de rapport $ k$, $ \overrightarrow{{\mathcal T}}$ est $ id_{\overrightarrow{{\mathcal E}} }$ ou $ k \ id_{\overrightarrow{{\mathcal E}} }$ respectivement.

On voit facilement que si $ {\mathcal S}$ et $ {\mathcal T}$ sont des apllications affines, alors

$\displaystyle \overrightarrow{{\mathcal S}\circ{\mathcal T}}=\overrightarrow{{\mathcal S}}\circ\overrightarrow{{\mathcal T}}.
$

Remarque 5.2.6   Il est utile de retenir que, dans (iii), la matrice $ M$ est celle qui représente $ \overrightarrow{{\mathcal T}}$ dans la base % latex2html id marker 33043
$ ({\bf e}_1, \ldots ,{\bf e}_n)$ de $ \overrightarrow{{\mathcal E}} $. Pour rappel, la colonne de numéro $ i$ de $ M$ est formée des composantes de % latex2html id marker 33051
$ \overrightarrow{{\mathcal T}}({\bf e}_i)$.

Exemple 5.2.7   Les symétries $ s_{\alpha,{\mathcal D}}$

Soient un hyperplan $ \alpha $ et une droite $ {\mathcal D}$ non parallèle à $ \alpha $. Le symétrique de $ A \in {\mathcal E}$ par rapport à $ \alpha $ parallèlement à $ {\mathcal D}$ est l'unique point $ A'=s_{\alpha,{\mathcal D}}(A)$ formant avec $ A$ un segment parallèle à $ {\mathcal D}$ et dont le milieu appartient à $ \alpha $. L'application $ A \mapsto s_{\alpha,{\mathcal D}}(A)$ est une affinité. En effet, dans un repère % latex2html id marker 33078
$ {\mathcal R}=(O,({\bf e}_1, \ldots ,{\bf e}_n))$$ O$ est le point de percée de $ {\mathcal D}$ dans $ \alpha $, où % latex2html id marker 33086
$ ({\bf e}_1, \ldots ,{\bf e}_{n-1})$ est une base de $ \overrightarrow{\alpha}$ et % latex2html id marker 33090
$ {\bf e}_n$ est un vecteur-directeur de $ {\mathcal D}$, elle est représentée sous la forme (21) avec % latex2html id marker 33094
$ {\bf p}={\bf0}$ et

% latex2html id marker 33096
$\displaystyle M= {\rm diag}\ (1, \ldots ,1,-1).
$

Exemple 5.2.8   Les projections parallèles $ pr_{\alpha,{\mathcal D}}$ et $ pr_{{\mathcal D},\alpha}$ (5.2)

Figure: Symétrie et projections.
\includegraphics{FIG48.EPS}


Soient encore un hyperplan $ \alpha $ et une droite $ {\mathcal D}$ non parallèle à $ \alpha $. La projection de $ A \in {\mathcal E}$ sur $ \alpha $ parallèlement à $ {\mathcal D}$ est le point de percée $ pr_{\alpha,{\mathcal D}}(A)$ dans $ \alpha $ de la droite passant par $ A$ et parallèle à $ {\mathcal D}$(5.3). L'application $ A \mapsto pr_{\alpha,{\mathcal D}}(A)$ est affine car, dans un repère comme dans l'exemple précédent, elle est représentée sous la forme (21) avec % latex2html id marker 33143
$ {\bf p}={\bf0}$ et

% latex2html id marker 33145
$\displaystyle M= {\rm diag}\ (1, \ldots ,1,0).
$

Semblablement, l'application qui transforme $ A$ en sa projection sur $ {\mathcal D}$ parallèlement à $ \alpha $, point de percée $ pr_{{\mathcal D},\alpha}(A)$ de $ {\mathcal D}$ dans l'hyperplan plan parallèle à $ \alpha $ passant par $ A$, est affine. On a encore % latex2html id marker 33161
$ {\bf p}={\bf0}$ tandis que

% latex2html id marker 33163
$\displaystyle M= {\rm diag}\ (0, \ldots ,0,1).
$

Remarque 5.2.9   Si les applications affines $ {\mathcal S}$ et $ {\mathcal T}$ sont représentées dans un repère $ {\mathcal R}$ par les applications
% latex2html id marker 33173
$\displaystyle {\bf x}\mapsto M{\bf x}+{\bf p}$     (5.2)

et
% latex2html id marker 33176
$\displaystyle {\bf x}\mapsto N{\bf x}+{\bf q}$      

respectivement, alors la composée $ {\mathcal S}\circ{\mathcal T}$ l'est par

% latex2html id marker 33180
$\displaystyle {\bf x}\mapsto MN{\bf x}+M{\bf q}+{\bf p}.
$

Ceci montre que

\begin{displaymath}
% latex2html id marker 33182
(M,{\bf p}) \mapsto\left (
\begin{array}{ccc}
M&{\bf p}\\
{\bf0}&1
\end{array} \right )
\end{displaymath}

transforme la composition des applications de la forme (22) en le produit de matrices(5.4).

Proposition 5.2.10   Soient un simplexe $ A_0, \ldots ,A_n$ et des points $ A'_0, \ldots ,A'_n$ de $ {\mathcal E}$. Il existe une seule application affine $ {\mathcal T}$ de $ {\mathcal E}$ qui, pour chaque $ i\in \{1, \ldots ,n\}$, transforme $ A_i$ en $ A'_i$. C'est une affinité si et seulement si $ A'_0, \ldots ,A'_n$ forment également un simplexe.

Preuve. Puisque $ A_0, \ldots ,A_n$ forment un simplexe, $ (A_0,(\overrightarrow{A_0A_1}\ldots ,\overrightarrow{A_0A_n}))$ est un repère de $ {\mathcal E}$. L'application affine représentée dans celui-ci sous la forme (22) en prenant pour $ M$ la matrice dont les colonnes sont les composantes de $ \overrightarrow{A'_0A'_1}, \ldots ,\overrightarrow{A'_0A'_n}$ et pour % latex2html id marker 33221
$ {\bf p}$ la coordonnée de $ A'_0$, transforme évidemment chaque $ A_i$ en son homologue $ A'_i$. C'est clairement la seule application affine ayant cette propriété. C'est une affinité à condition que la matrice $ M$ soit non singulière, c'est-à-dire que $ (\overrightarrow{A'_0A'_1}, \ldots
,\overrightarrow{A'_0A'_n})$ soit une base. Ceci équivaut au fait que $ A'_0, \ldots ,A'_n$ forment un simplexe.$ \qed $


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2002-12-17