next up previous contents
suivant: 2.6 Repères et coordonnées monter: 2.5 Quelques standards précédent: 2.5.3 Le théorème de   Table des matières

2.5.4 Le théorème de Ceva

Théorème 2.5.7   (Ceva) Soient un triangle $ ABC$ et des points $ A'$, $ B'$ et $ C'$ choisis respectivement sur $ BC$, $ CA$ et $ AB$. Les droites $ AA'$, $ BB'$ et $ CC'$ sont concourantes ou parallèles si et seulement si

$\displaystyle \frac{\overrightarrow{AB'}}{\overrightarrow{B'C}}\frac{\overright...
...}}{\overrightarrow{A'B}}\frac{\overrightarrow{BC'}}{\overrightarrow{C'A}} = 1.
$

Preuve. On adopte les notations de la preuve précédente. Il s'agit à présent de vérifier que la condition considérée équivaut au fait que les plans $ \pi_{AA',S}$, $ \pi_{BB',S}$ et $ \pi_{CC',S}$ se coupent selon une droite. En effet, si les droites $ AA'$, $ BB'$ et $ CC'$ se coupent en $ S'$, alors ces plans ont la droite $ SS'$ en commun; si elles sont parallèles, alors, ils se coupent selon une droite qui leur est parallèle. Inversement, on vérifie facilement que si les plans ont une droite en commun, alors les droites $ AA'$, $ BB'$ et $ CC'$ se coupent ou sont parallèles, selon que cette droite perce ou non le plan du triangle $ ABC$.

Figure: Le théorème de Ceva, lorsque les droites se coupent...
\includegraphics{FIG22.EPS}

Figure 21: ...et quand elles ne se coupent pas.
\includegraphics{FIG23.EPS}

Puisqu'ils passent par $ S$, les plans $ \pi_{AA',S}$, $ \pi_{BB',S}$ et $ \pi_{CC',S}$ ont une droite en commun si et seulement si ils ont un vecteur directeur commun, c'est-à-dire si il existe des nombres $ k, k', l, l', m, m'$ tels que

% latex2html id marker 30043
$\displaystyle k{\bf a}+k'{\bf a}'=l{\bf b}+l'{\bf b}'=m{\bf c}+m'{\bf c}'$ (2.4)

et ne soit pas nul. Les vecteurs % latex2html id marker 30045
$ {\bf a}$, % latex2html id marker 30047
$ {\bf b}$, % latex2html id marker 30049
$ {\bf c}$ sont linéairement indépendants car $ A$, $ B$ et $ C$ ne sont pas alignés. En utilisant (10) et en égalant les coefficients de % latex2html id marker 30057
$ {\bf a}$, % latex2html id marker 30059
$ {\bf b}$, % latex2html id marker 30061
$ {\bf c}$ dans les égalités (12), on obtient les égalités équivalentes

\begin{displaymath}
% latex2html id marker 30063\begin{array}{cccccc}
k &=& \b...
...\gamma_2m' \\
m &=& \alpha_2k' &=& \beta_1l' \\
\end{array}\end{displaymath}

Pour que le vecteur représenté par (12) ne soit pas nul, il est nécessaire et suffisant que ces équations admettent une solution dans laquelle $ k'$, $ l'$ et $ m'$ ne soient pas tous nuls. Cela revient à demander que le déterminant des coefficients de ces inconnues

\begin{displaymath}
% latex2html id marker 30071\left \vert
\begin{array}{ccc...
...\right \vert
= \alpha_1\beta_1\gamma_1-\alpha_2\beta_2\gamma_2
\end{displaymath}

soit nul.$ \qed $

Remarque 2.5.8   Comme à propos du théorème de Ménélaüs, pour éviter les cas où un rapport de section n'existe pas, on peut formuler la condition de l'énoncé au moyen des coordonnées barycentriques $ (\alpha_1,\alpha_2)$, etc. des points $ A'$, $ B'$, $ C'$. Elle s'écrit alors : $ \alpha_1\beta_1\gamma_1-\alpha_2\beta_2\gamma_2 = 0$.


next up previous contents
suivant: 2.6 Repères et coordonnées monter: 2.5 Quelques standards précédent: 2.5.3 Le théorème de   Table des matières
2002-12-17