2.5.4 Le théorème de Ceva

Théorème 2.5.7   (Ceva) Soient un triangle $ABC$ et des points $A'$, $B'$ et $C'$ choisis respectivement sur $BC$, $CA$ et $AB$. Les droites $AA'$, $BB'$ et $CC'$ sont concourantes ou parallèles si et seulement si

$$\frac{\overrightarrow{AB'}}{\overrightarrow{B'C}}\frac{\overright... ...}}{\overrightarrow{A'B}}\frac{\overrightarrow{BC'}}{\overrightarrow{C'A}} = 1.$$

Preuve. On adopte les notations de la preuve précédente. Il s'agit à présent de vérifier que la condition considérée équivaut au fait que les plans $\pi_{AA',S}$, $\pi_{BB',S}$ et $\pi_{CC',S}$ se coupent selon une droite. En effet, si les droites $AA'$, $BB'$ et $CC'$ se coupent en $S'$, alors ces plans ont la droite $SS'$ en commun; si elles sont parallèles, alors, ils se coupent selon une droite qui leur est parallèle. Inversement, on vérifie facilement que si les plans ont une droite en commun, alors les droites $AA'$, $BB'$ et $CC'$ se coupent ou sont parallèles, selon que cette droite perce ou non le plan du triangle $ABC$.

Figure: Le théorème de Ceva, lorsque les droites se coupent...

Figure 21: ...et quand elles ne se coupent pas.

Puisqu'ils passent par $S$, les plans $\pi_{AA',S}$, $\pi_{BB',S}$ et $\pi_{CC',S}$ ont une droite en commun si et seulement si ils ont un vecteur directeur commun, c'est-à-dire si il existe des nombres $k, k', l, l', m, m'$ tels que

$$k{\bf a}+k'{\bf a}'=l{\bf b}+l'{\bf b}'=m{\bf c}+m'{\bf c}'$$ (2.4)

et ne soit pas nul. Les vecteurs ${\bf a}$, ${\bf b}$, ${\bf c}$ sont linéairement indépendants car $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés. En utilisant (10) et en égalant les coefficients de ${\bf a}$, ${\bf b}$, ${\bf c}$ dans les égalités (12), on obtient les égalités équivalentes

$$% latex2html id marker 30063\begin{array}{cccccc} k &=& \b... ...\gamma_2m' \\ m &=& \alpha_2k' &=& \beta_1l' \\ \end{array}$$

Pour que le vecteur représenté par (12) ne soit pas nul, il est nécessaire et suffisant que ces équations admettent une solution dans laquelle $k'$, $l'$ et $m'$ ne soient pas tous nuls. Cela revient à demander que le déterminant des coefficients de ces inconnues

$$% latex2html id marker 30071\left \vert \begin{array}{ccc... ...\right \vert = \alpha_1\beta_1\gamma_1-\alpha_2\beta_2\gamma_2$$

soit nul.$\qed$

Remarque 2.5.8   Comme à propos du théorème de Ménélaüs, pour éviter les cas où un rapport de section n'existe pas, on peut formuler la condition de l'énoncé au moyen des coordonnées barycentriques $(\alpha_1,\alpha_2)$, etc. des points $A'$, $B'$, $C'$. Elle s'écrit alors : $\alpha_1\beta_1\gamma_1-\alpha_2\beta_2\gamma_2 = 0$.