Un espace vectoriel (sur ) est un ensemble muni de deux opérations, l'addition
Dans la troisième, est un élement particulier de , l'élément neutre; dans la suivante, s'appelle l'opposé de .
Ces relations traduisent des règles de calcul familières de l'addition et du produit de nombres réels.
On suppose ici qu'elles s'appliquent aussi aux éléments de , sans préciser davantage la nature de ceux-ci. Voici d'autres propriétés usuelles
satisfaites par les opérations dans . Elles sont conséquences directes de ces règles.
Les démonstrations sont omises. C'est un bon exercice que d'essayer d'en trouver. La dernière propriété justifie que l'on écrive pour et pour .