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1.2 Les axiomes

Un espace vectoriel (sur % latex2html id marker 27474
$ {\rm I\!R}$) est un ensemble $ E$ muni de deux opérations, l'addition

% latex2html id marker 27478
$\displaystyle ({\bf x},{\bf y}) \in E \times E \mapsto {\bf x}+{\bf y} \in E
$

et la multiplication scalaire

% latex2html id marker 27480
$\displaystyle (\lambda,{\bf x}) \in {\rm I\!R}\times E \mapsto \lambda {\bf x} \in E,
$

astreintes à vérifier les propriétés suivantes, dans lesquelles % latex2html id marker 27482
$ {\bf x}, {\bf y}, {\bf z}$ sont des éléments arbitraires de $ E$ et $ \lambda, \mu$ sont des nombres réels quelconques.

\begin{displaymath}
% latex2html id marker 27488\begin{array}{cl}
{\bf (x+y) +...
...mu){\bf x}=\lambda(\mu{\bf x})\\
1{\bf x}={\bf x}
\end{array}\end{displaymath}

Dans la troisième, % latex2html id marker 27490
$ \bf0$ est un élement particulier de $ E$, l'élément neutre; dans la suivante, % latex2html id marker 27494
$ -{\bf x}$ s'appelle l'opposé de % latex2html id marker 27496
$ {\bf x}$.


Ces relations traduisent des règles de calcul familières de l'addition et du produit de nombres réels. On suppose ici qu'elles s'appliquent aussi aux éléments de $ E$, sans préciser davantage la nature de ceux-ci. Voici d'autres propriétés usuelles satisfaites par les opérations dans $ E$. Elles sont conséquences directes de ces règles.

Proposition 1.2.1  

\begin{displaymath}
% latex2html id marker 27503\begin{array}{c}
Si \ {\bf x}+...
...f0}= {\bf0}\\
(-\lambda){\bf x}=-(\lambda{\bf x})
\end{array}\end{displaymath}

Les démonstrations sont omises. C'est un bon exercice que d'essayer d'en trouver. La dernière propriété justifie que l'on écrive % latex2html id marker 27505
$ -\lambda {\bf x}$ pour % latex2html id marker 27507
$ (-\lambda){\bf x}$ et % latex2html id marker 27509
$ {\bf x}-{\bf y}$ pour % latex2html id marker 27511
$ {\bf x}+(-{\bf y})$.



2002-12-17