3.3.1 Définition

Comment traduire ceci analytiquement? Si on peut déformer de manière continue la base ${\mathcal B}$ en la base ${\mathcal B}'$ alors le déterminant de la matrice formée des composantes des éléments de ${\mathcal B}'$ selon ${\mathcal B}$ (cf. Remarque 4.7) est positif: lorsque ${\mathcal B}'$ est proche de ${\mathcal B}$, cette matrice est proche de l'identité. Son déterminant est donc proche de $1$ et est positif. Il doit alors le rester durant toute la transformation car s'il changeait de signe, alors il s'annulerait, ce qui ne se peut. Inversement, on peut établir que si le déterminant de la matrice représentant ${\mathcal B}'$ selon ${\mathcal B}$ est positif, alors on peut transformer continûment ${\mathcal B}$ en ${\mathcal B}'$. Ceci nous amène à dire que deux bases de $E$ sont de même orientation si le déterminant de la matrice exprimant les éléments de l'une selon l'autre est positif. Orienter $E$ consiste à choisir une base et à ne rapporter $E$ qu'à des bases de même orientation que celle-ci (^3.4)(les bases choisies pour orienter $E$ sont parfois dites positives).