7.4.0.1 Plan tangent

Puisque $\Gamma$ est tracé sur $S$, son vecteur tangent $\gamma'(t_{0})$ est dit tangent à $S$ en $P$. Il est commode de déclarer également que ${\bf0}$ est tangent à $S$ en $P$.

Proposition 7.4.1   L'ensemble $\overrightarrow{T_{P}S}$ des vecteurs tangents à $S$ en $P$ est le plan vectoriel

$$>\partial_{u_{0}}\varphi,\partial_{v... ...rphi<_{l} = \{{\bf h}\in \overrightarrow{{\mathcal E}} :grad_{P}F.{\bf h}=0\}$$

de $\overrightarrow{{\mathcal E}}$.

Preuve. Vu (36), $\overrightarrow{T_{P}S}\subset >\partial_{u_{0}}\varphi,\partial_{v_{0}}\varphi<_{l}$. Inversement, on a $>\partial_{u_{0}}\varphi,\partial_{v_{0}}\varphi<_{l}\subset \overrightarrow{T_{P}S}$ car si $a, b \in {\rm I\!R}$, on a

$${\frac{d{}}{dt}}\varphi(u_{0}+ta,v_{0}+tb)_{\vert_{t=0}}=a\partial_{u_{0}}\varphi+b\partial_{v_{0}}\varphi.$$

Ceci montre que $\overrightarrow{T_{P}S}$ est l'enveloppe linéaire de $\partial_{u_{0}}\varphi$ et $\partial_{v_{0}}\varphi$. C'est donc un sous espace vectoriel de dimension deux de $\overrightarrow{{\mathcal E}}$ puisque ces vecteurs sont linéairement indépendants. Vu (34),

$$>\partial_{u_{0}}\varphi,\partial_{v... ...{l}\subset \{{\bf h}\in \overrightarrow{{\mathcal E}} :grad_{P}F.{\bf h}=0\}.$$

Ces deux sous-espaces sont donc égaux car leurs dimensions sont égales.$\qed$

Figure: Plan tangent à $S$.

Le plan tangent à $S$ en $P$ est par définition le plan

$$T_{P}S=P+\overrightarrow{T_{P}S}.$$

Par exemple, le plan tangent à la sphère $S(C,r)$ en $P$ est le plan passant par $P$ et perpendiculaire à $CP$. On a observé en effet que $S(C,r)$ admet une équation cartésienne dont le gradient en $P$ est $2\overrightarrow{CP}$.

La proposition précédente montre que $grad_{P}F$ est une normale au plan tangent en $P$ de $S$. Par conséquent,

Proposition 7.4.2   Dans tout repère orthonormé de ${\mathcal E}$, le plan tangent à $S$ en le point $P$ de coordonnées $(a,b,c)$ admet l'équation cartésienne

$$(x-a)\partial_{a}F+(y-b)\partial_{b}F+(z-c)\partial_{c}F=0.$$