6.3.1.3 Tangente

La définition

$${\frac{d{\gamma}}{dt}}=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\overrightarrow{\gamma(t)\gamma(t+h)}$$

de la dérivée de $\gamma$ en $t$ permet d'interpréter sa direction comme la limite des directions des droites $PP'$, quand le point $P'$ de $\Gamma$ se rapproche de $P=\gamma(t)$. C'est pourquoi on dit que ${\frac{d{\gamma}}{dt}}$ est un vecteur tangent à $\Gamma$ en $P$. La droite passant par $P$ et parallèle à ${\frac{d{\gamma}}{dt}}$ est tangente à $\Gamma$ en $P$; elle ne dépend pas du paramétrage choisi car si $(J,\eta)$ est équivalent à $(I,\gamma)$,

$${\frac{d{\gamma}}{dt}}={\frac{d{\eta}}{ds}}{\frac{d{\varphi}}{dt}}.$$ (6.3)

Remarque 6.3.3   Il est possible qu'un même point de $\Gamma$ corresponde à plusieurs valeurs du paramètre $t$. L'arc $\Gamma$ admet alors éventuellement plusieurs tangentes en ce point. C'est par exemple le cas du folium de Descartes. Dans un repère orthonormé du plan, celui-ci admet le paramétrage

$$(\frac{t(1-t^2)}{1+3t^2},\frac{1-t^2}{1+3t^2}), \ t\in{\rm I\!R}.$$

Figure 4: Le folium de Descartes.

L'origine du repère est obtenue en $t=±1$ et il y a deux tangentes en ce point, de vecteurs-directeurs de composantes $(±\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$.