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6.3.1.3 Tangente

La définition

$\displaystyle {\frac{d{\gamma}}{dt}}=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\overrightarrow{\gamma(t)\gamma(t+h)}
$

de la dérivée de $ \gamma $ en $ t$ permet d'interpréter sa direction comme la limite des directions des droites $ PP'$, quand le point $ P'$ de $ \Gamma$ se rapproche de $ P=\gamma(t)$. C'est pourquoi on dit que $ {\frac{d{\gamma}}{dt}}$ est un vecteur tangent à $ \Gamma$ en $ P$. La droite passant par $ P$ et parallèle à $ {\frac{d{\gamma}}{dt}}$ est tangente à $ \Gamma$ en $ P$; elle ne dépend pas du paramétrage choisi car si $ (J,\eta)$ est équivalent à $ (I,\gamma)$,

$\displaystyle {\frac{d{\gamma}}{dt}}={\frac{d{\eta}}{ds}}{\frac{d{\varphi}}{dt}}.$ (6.3)

Remarque 6.3.3   Il est possible qu'un même point de $ \Gamma$ corresponde à plusieurs valeurs du paramètre $ t$. L'arc $ \Gamma$ admet alors éventuellement plusieurs tangentes en ce point. C'est par exemple le cas du folium de Descartes. Dans un repère orthonormé du plan, celui-ci admet le paramétrage

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$\displaystyle (\frac{t(1-t^2)}{1+3t^2},\frac{1-t^2}{1+3t^2}), \ t\in{\rm I\!R}.
$

Figure 4: Le folium de Descartes.
\includegraphics{Folium.eps}

L'origine du repère est obtenue en $ t=±1$ et il y a deux tangentes en ce point, de vecteurs-directeurs de composantes $ (±\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$.


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2002-12-17