7.1 Préambule

Ce chapitre est consacré à l'étude locale des surfaces, ce qui peut se faire en examinant les courbes dessinées dessus. De façon générique, la trace sur une surface d'un plan passant par un de ses points $P$ est une courbe. L'étude de sa courbure lorsque le plan varie, par exemple en pivotant autour de la normale à la surface en $P$, permet d'appréhender la forme de la surface au voisinage de $P$.

Tout comme pour les courbes, il y a deux descriptions possibles des surfaces, qui peuvent être définies au moyen de paramétrages (avec deux paramètres), ou d'équations cartésiennes.

Dans ce chapitre, ${\mathcal E}$ désigne un espace affine Euclidien de dimension $3$, orienté.

Afin d'alléger les écritures, on confond souvent ci-dessous une fonction et sa description au moyen des coordonnées relatives à un repère donné de ${\mathcal E}$. Cela ne sera pas systématiquement répété, et ne génèrera guère d'ambiguité.

Les surfaces étudiées ont un certain ordre de différentiabilité. On le note $p$. Il vaut au moins $3$.