2.4.2 Variétés affines

Une variété affine de ${\mathcal E}$ est une partie ${\mathcal V}$ de ${\mathcal E}$ qui contient les droites passant par deux quelconques de ses points:

$$A, B \in {\mathcal V}, A \ne B \ \Rightarrow \ AB \subset \mathcal{V}.$$

Remarque 2.4.1   L'ensemble vide $\emptyset$ et les points de ${\mathcal E}$ sont des variétés affines car ils ne contiennent pas deux points distincts.

Proposition 2.4.2   Une partie ${\mathcal V}$ de ${\mathcal E}$ est une variété affine si et seulement si elle contient les combinaisons affines de ses points.

Preuve. Si ${\mathcal V}$ contient les combinaisons affines de ses points, alors il contient en particulier les droites qui joignent deux quelconques de ses points. Inversement, le calcul des barycentres de plusieurs points se ramenant par groupement successifs à des calculs de barycentres de deux points (Proposition 3.4), si ${\mathcal V}$ est une variété affine, alors il contient les combinaisons affines de ses éléments.$\qed$

Figure: Le barycentre de $A_1$, ... , $A_5$ est calculé progressivement en remplaçant $A_1$ et $A_2$ par leur barycentre $B_1$, $A_3$ et $B_1$ par le leur,... A chaque étape, les poids sont ajustés.

Proposition 2.4.3   Soient des points $A$, $A'$ de ${\mathcal E}$ et des sous-espaces vectoriels $L$ et $L'$ de $\overrightarrow{{\mathcal E}}$.

(i) L'ensemble

$$A+L=\{A+{\bf u}\ \vert\ {\bf u}\in L \}$$

est une variété affine de ${\mathcal E}$, contenant $A$.

(ii) On a $A+L=A'+L'$ si et seulement si $A+L \cap A'+L'\ne\emptyset$ et $L=L'$.

Preuve. (i) Montrons que si $X,Y\in A+L$ sont distincts, alors la droite $XY$ est contenue dans $A+L$. Il existe ${\bf u}, {\bf v}\in L$ tels que $X=A+{\bf u}$ et $Y=A+{\bf v}$. On a

$$\overrightarrow{A((1-\lambda)X+\lamb... ...verrightarrow{AX}+\lambda\overrightarrow{AY}=(1-\lambda){\bf u}+\lambda{\bf v}$$

et par conséquent, $(1-\lambda)X+\lambda Y\in A+L$ vu la Proposition 3.2. Donc $XY \subset A+L$. Bien entendu, $A=A+{\bf0}\in A+L$.

(ii) Supposons que $A+L=A'+L'$. Puisque $A\in A+L$, il existe ${\bf u}_0'\in L'$ tel que $\overrightarrow{A'A}={\bf u}_0'$. De plus, si ${\bf u}\in L$, alors il existe ${\bf u}'\in L'$ tel que $A+{\bf u}=A'+{\bf u}'$ si bien que

$${\bf u}=\overrightarrow{AA'}+{\bf u}'={\bf u}'-{\bf u}_0' \in L'.$$

Donc $L \subset L'$ et, par symétrie, $L' \subset L$.

Inversement, supposons que $A+L \cap A'+L'\ne\emptyset$ et $L=L'$. Soit $S \in A+L \cap A'+L'$. Pour tout ${\bf u}\in L$, on a

$$A+{\bf u} = A' + \overrightarrow{A'A}+{\bf u}$$

$$= A'+ \overrightarrow{SA}-\overrightarrow{SA'}+{\bf u}\in A'+L'$$

puisque $\overrightarrow{SA}, \overrightarrow{SA'} \in L=L'$. Donc, $A+L \subset A'+L'$ et, par symétrie, $A'+L' \subset A+L$.$\qed$