7.3.0.1 Exemples

Si $S$ est l'image d'un paramétrage par des coordonnées

$$(x,y) \mapsto (x,y,f(x,y)), \ (x,y)\in U,$$

alors

$$X \mapsto z-f(x,y)$$

est une équation cartésienne de $S$ dans l'ouvert $\Omega$ formé des points de coordonnées dans $U\times{\rm I\!R}$.

La sphère $S(C,r)$ de centre $C$ et de rayon $r$ est une surface. En effet, dans un repère orthonormé de ${\mathcal E}$, ses points sont caractérisés par la condition

$$(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2-r^2=0,$$

où $(a,b,c)$ sont les coordonnées de $C$. La fonction

$$F(X)=(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2-r^2$$

est une équation cartésienne de $S(C,r)$ dans le complémentaire de $C$ car son gradient en $X$ est le vecteur $2\overrightarrow{CX}$.