1.4.4 Changement de bases

Sauf pour ${\rm I\!R}^n$, il n'y a généralement pas de base privilégiée. Il importe donc de savoir changer de base d'autant que, même dans ${\rm I\!R}^n$, cela peut être opportun afin de simplifier la formulation et la résolution des problèmes que l'on étudie.

Soient des bases ${\mathcal B}=({\bf e}_1, \ldots , {\bf e}_n)$ et ${\mathcal B'}=({\bf e'}_1, \ldots , {\bf e'}_n)$ de $E$. Notons ${\bf x}_{\mathcal B} = (x_1, \ldots ,x_n)$ et ${\bf x}_{\mathcal B'} = (x'_1, \ldots ,x'_n)$ les composantes d'un élément quelconque ${\bf x}$ de $E$ dans ces bases respectivement. La question est de calculer les $x'_i$ à l'aide des $x_i$.

Proposition 1.4.6   Les composantes de x selon ${\mathcal B'}$ sont des fonctions homogènes du premier degré en les composantes de x selon ${\mathcal B}$:

$$% latex2html id marker 27881\left \{ \begin{array}{rcl} x'... ...& \\ x'_n&=&a_{n1}x_1 + \cdots +a_{nn}x_n \end{array}\right.$$

Ces fonctions sont indépendantes, en ce sens que les vecteurs formés par les coefficients des inconnues, $(a_{i1}, \ldots ,a_{in}), i=1,...,n$, sont linéairement indépendants dans ${\rm I\!R}^n$.

Preuve. Puisque ${\mathcal B'}$ est une base, les éléments de ${\mathcal B}$ sont des combinaisons linéaires de ceux de ${\mathcal B'}$:

$$% latex2html id marker 27893\left \{ \begin{array}{rcl} {\... ...b_{n1}{\bf e'}_1 + \cdots +b_{nn}{\bf e'}_n \end{array}\right.$$

Par définition des composantes de x selon ${\mathcal B}$, on a donc

$${\bf x} = x_1{\bf e}_1+\ldots+x_n{\bf e}_n$$

$$= x_1(b_{11}{\bf e'}_1 + \cdots +b_{1n}{\bf e'}_n)+ \cdots + x_n(b_{n1}{\bf e'}_1 + \cdots +b_{nn}{\bf e'}_n)$$

$$= (x_1b_{11}+\cdots+x_nb_{n1}){\bf e'}_1+\cdots+(x_1b_{1n}+\cdots+x_nb_{nn}){\bf e'}_n$$

Par conséquent,

$$% latex2html id marker 27912\left \{ \begin{array}{rcl} x'... ...& \\ x'_n&=&b_{1n}x_1 + \cdots +b_{nn}x_n \end{array}\right.$$

sont de la forme indiquées, avec

$$a_{ij}=b_{ji}.$$

Il reste à vérifier que les ${\bf a}_i=(a_{i1}, \ldots ,a_{in})$ sont linéairement indépendants. Mais si

$$\alpha_1{\bf a}_1+ \cdots +\alpha_n{\bf a}_n={\bf0},$$

alors, pour tout ${\bf x}\in E$, on a

$$\alpha_1x'_1+ \cdots +\alpha_nx'_n={\bf0}.$$

Avec ${\bf x}$ égal à ${\bf e'}_1$,..., ${\bf e'}_n$, on obtient alors $\alpha_1=0$,..., $\alpha_n=0$. $\qed$

Remarque 1.4.7   Le tableau

$$% latex2html id marker 27937A= \left ( \begin{array}{lccl}... ...ts & &\vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right )$$

est facile à construire. Sa colonne numéro $i$ est formée des composantes de ${\bf e}_i$ selon ${\mathcal B'}$. A l'aide du calcul matriciel, on peut donc encore écrire

$${\bf x}_{\mathcal B'}=A{\bf x}_{\mathcal B}$$

où $A$ est la matrice exprimant ${\mathcal B}$ dans la base ${\mathcal B'}$. Souvent, c'est ${\mathcal B'}$ qui est donné dans la base ${\mathcal B}$, au moyen d'une matrice $A'$. On a alors

$${\bf x}_{\mathcal B'}=A'^{-1} {\bf x}_{\mathcal B}.$$

Si la matrice exprimant ${\mathcal B}''$ dans ${\mathcal B}'$ est $A''$, alors celle qui décrit ${\mathcal B}''$ dans ${\mathcal B}$ est le produit $A'A''$.

Remarque 1.4.8   Dans le tableau $A$ ci-dessus, les colonnes sont linéairement indépendantes. C'est en effet la condition sous laquelle les ${\bf e}_i$ forment une base. Il résulte donc de la Proposition 4.6 que si les colonnes d'un tableau carré sont linéairement indépendantes, alors les lignes de ce tableau le sont aussi.