6.4.1 Graphe de fonction

Rapportons ${\mathcal E}$ à un repère orthonormé, ce qui a pour effet de nous ramener dans ${\rm I\!R}^2$ muni du produit scalaire canonique. Pour alléger l'écriture, dans le reste de cette section, on explicite directement les formules en coordonnées.

Une manière commode de se donner une courbe consiste à la décrire comme un graphe de fonction. Le graphe

$$\Gamma_f=\{(t,f(t))\in{\rm I\!R}^2:t\in I\}$$

de la fonction $f:I\to{\rm I\!R}$ de classe $C_p$ est un arc paramétré de courbe de classe $C_p$. Il admet en effet le paramétrage distingué $(I,\gamma)$, où

$$\gamma: t \mapsto (t,f(t))$$

est injectif. Comme $t$ est l'abscisse de $\gamma(t)$, on dit que c'est le paramétrage par l'abscisse de $\Gamma_f$.

Proposition 6.4.2   Soit une fonction $f:I\to{\rm I\!R}$ de classe $C_p$. Si $\Gamma_f$ est orienté par le paramétrage par l'abscisse, alors sa tangente unitaire, sa normale principale et sa courbure sont respectivement donnés par

$$% latex2html id marker 34943\begin{array}{ccl} {\bf t}&=&\... ...1),\\ \kappa&=&\frac{f''}{(\sqrt{1+f'^2})^3}\cdot \end{array}$$

Preuve. La formule pour ${\bf t}$ résulte immédiatement de la définition du paramétrage par l'abscisse. La normale ${\bf n}$ est alors nécessairement l'un des vecteurs

$${\bf n}=±\frac{1}{\sqrt{1+f'^2}}(-f',1).$$

Pour lever l'ambiguïté sur le signe, il suffit d'observer que

$$% latex2html id marker 34951\left \vert \begin{array}{cc} 1&-f'\\ f'&1 \end{array}\right \vert =1+f'^2>0.$$

Après un peu de calcul, on obtient alors

$$\dot{{\bf t}}=\frac{1}{\vert\gamma'\vert}{\bf t}'=\frac{f''}{(\sqrt{1+f'^2})^3}{\bf n},$$

ce qui donne directement l'expression prévue pour la courbure.$\qed$

Le signe de $\kappa$ est celui de $f''$. Il est donc lié à la concavité de $\Gamma_f$: la concavité est ``vers le haut" ou ``vers le bas" selon que $\kappa$ est positif ou négatif. Plus intrinsèquement, cela signifie que ${\bf n}$ est orienté vers la concavité ou l'opposé de $\Gamma_f$ selon que $\kappa$ est positif ou négatif.

On peut également considérer des arcs paramétrés par l'ordonnée, en échangeant ci-dessus les rôles des coordonnées $x$ et de $y$.

On peut aussi exprimer ${\bf t}, {\bf n}$ et $\kappa$ lorsque l'arc est orienté par un paramétrage quelconque $\gamma=(x,y)$. On obtient alors

$$% latex2html id marker 34981\begin{array}{ccl} {\bf t}&=& ... ...a &=& \frac{x'y''-x''y'}{(\sqrt{x'^2+y'^2})^3}\cdot \end{array}$$