5.3.2.1 Rotations planes

Supposons à présent que ${\mathcal E}$ soit de dimension $2$.

Proposition 5.3.4   Soit une rotation ${\mathcal T}$ de ${\mathcal E}$ admettant le point fixe $C$.

(i) L'angle orienté $\theta\in[0,2\pi[$ entre ${\bf u}$ et $\overrightarrow{{\mathcal T}}({\bf u})$ est indépendant de ${\bf u}\in \overrightarrow{{\mathcal E}}$.

(ii) Dans tout repère orthonormé positif d'origine $C$ de ${\mathcal E}$, ${\mathcal T}$ est représenté par l'application

$$% latex2html id marker 33413\left ( \begin{array}{c} {\bf ... ... ( \begin{array}{c} {\bf x}_1\\ {\bf x}_2 \end{array}\right )$$

Figure 8: Rotation plane d'angle $\theta$ et centre $C$.

Preuve. Dans un repère orthonormé positif d'origine $C$, ${\mathcal T}$ est représenté sous la forme (22) où

$$% latex2html id marker 33431M= \left ( \begin{array}{cc} a&c\\ b&d \end{array}\right )$$

est orthogonale et de déterminant $1$. Les colonnes étant normées et orthogonales, $(c,d)$ ne peut que valoir $(-b,a)$ ou $(b,-a)$. Il vaut $(-b,a)$ car le déterminant de $M$ est positif. Cela étant, puisque $a^2+b^2=1$, il existe un seul nombre $\theta\in[0,2\pi[$ tel que $a=\cos\theta$ et $b=\sin\theta$. La matrice $M$ est donc de la forme prévue dans (ii). Pour terminer la démonstration, il suffit de montrer que $\theta$ à la propriété indiquée dans (i). Si $(u_1,u_2)$ sont les composantes de ${\bf u}\in{\overrightarrow{{\mathcal E}} }\setminus{\bf0}$, celles de ${\bf v}=\overrightarrow{{\mathcal T}}({\bf u})$ sont

$$% latex2html id marker 33463 \left \{ \begin{array}{ccc} v_1... ...theta\\ v_1&=&u_1\sin\theta+u_2\cos\theta \end{array}\right.$$

De là,

$$\cos \theta = \frac{{\bf u}.{\bf v}}{\vert{\bf u}\vert\vert{\bf v}\vert}$$

et

$$\sin \theta = \frac{\left\vert\begin... ...1\\ u_2&v_2 \end{array}\right\vert}{\vert{\bf u}\vert\vert{\bf v}\vert}\cdot$$

D'où la conclusion.$\qed$

L'angle orienté $\theta$ dont il est question en $(i)$ est l'amplitude de la rotation ${\mathcal T}$(^5.5). On désigne par ${\mathcal R}_{C,\theta}$ la rotation de point fixe $C$ et d'amplitude $\theta$. Un calcul élémentaire montre que

$${\mathcal R}_{C,\theta_1}\circ {\mathcal R}_{C,\theta_2}={\mathcal R}_{C,\theta_1+\theta_2}.$$

La rotation ${\mathcal R}_{C,0}$ est l'identité $id_{\mathcal E}$. C'est la seule rotation plane ayant plus d'un point fixe. La rotation ${\mathcal R}_{C,\pi}$ est la symétrie centrale par rapport à $C$.