3.3.2.1 Angles à côtés perpendiculaires

Supposons que ${\bf u}$ et ${\bf v}$ sont linéairement indépendants, de même que ${\bf u}'$ et ${\bf v}'$. Notons $\varphi$ l'angle non orienté entre ${\bf u}$ et ${\bf v}$ et $\varphi'$ celui séparant ${\bf u}'$ de ${\bf v}'$.

Proposition 3.3.1   Si ${\bf u}'$ est orthogonal à ${\bf u}$ et ${\bf v}'$ à ${\bf v}$, alors $\varphi'=\varphi$ si $({\bf u}',{\bf v}')$ a même orientation que $({\bf u},{\bf v})$ et $\varphi'=\pi-\varphi$ sinon.

Preuve. Quitte à les diviser par leur longueurs, on peut supposer les vecteurs normés, ce qui ne change pas les orientations considérées. Notons $(a,b)$ les composantes de ${\bf v}$ dans la base orthonormée $({\bf u},{\bf u}')$. Celles de ${\bf v}'$ sont de la forme $k(-b,a)$, avec $k=±1$ puisque ${\bf v}$ et ${\bf v}'$ sont de longueur $1$. On a

$${\bf u}'.{\bf v}'=ka=k{\bf u}.{\bf v}.$$

D'où le résultat car $({\bf u}',{\bf v}')$ a même orientation que $({\bf u},{\bf v})$ si et seulement si $k>0$.$\qed$