6.3.2.1 Tangente, normale principale et binormale

A présent, nous choisissons une orientation de $\Gamma$ et nous le paramétrons par l'abscisse curviligne $s$ mesurée à partir d'un point $P_0$. Il est commode de désigner les dérivées par rapport à $s$ par un point:

$${\frac{d{f}}{ds}}=\dot{f}.$$

Le vecteur tangent

$${\bf t}=\dot{\gamma}$$

est normé car le paramétrage $(I,\gamma)$ est naturel. Il résulte de la Proposition 2.7 que la dérivée de ${\bf t}$ lui est orthogonale. Intuitivement, elle indique donc la manière dont $\Gamma$ s'incurve en s'écartant de sa tangente. Sa norme

$$\kappa=\vert\dot{{\bf t}}\vert$$

est la courbure de $\Gamma$ en $P=\gamma(s)$. Si elle n'est pas nulle, on peut écrire

$$\ddot{\gamma}=\dot{{\bf t}}=\kappa{\bf n}$$

où le vecteur normé ${\bf n}=\dot{{\bf t}}/\vert\dot{{\bf t}}\vert$ est la normale principale de $\Gamma$ en $P$.

Exemple 6.3.6   Courbure d'une droite

Si ${\bf u}$ est normé, alors $\gamma(s)=A+s\ {\bf u}$ est un paramétrage naturel de la droite ${\mathcal D}$ passant par $A$ et parallèle à ${\bf u}$ car $\dot{\gamma}={\bf u}$. Comme ${\bf t}$ est constant, la courbure de ${\mathcal D}$ est nulle, conformément à l'intuition.

Exemple 6.3.7   Courbure d'un cercle

Dans un repère orthonormé, considérons le cercle centré à l'origine et de rayon $r$, paramétré comme en (23) par l'abscisse curviligne $s$ mesurée depuis ${\bf e}_1$ dans le sens trigonométrique. On a

$$% latex2html id marker 34387\begin{array}{ccc} \dot{\gamma... ...\frac{1}{r}(-\cos\frac{s}{r},-\sin\frac{s}{r})\cdot \end{array}$$

Par conséquent,

$$% latex2html id marker 34389\begin{array}{ccl} \kappa &=&\... ... {\bf n}&=&-(\cos\frac{s}{r},\sin\frac{s}{r})\cdot \end{array}$$

Le fait que la courbure soit l'inverse du rayon est conforme à l'intuition: un cercle tangent à une droite en $A$ dont le centre s'éloigne le long de la perpendiculaire en $A$ à cette droite, se ``rapproche" de celle-ci à mesure que son rayon croît, c'est-à-dire que $\kappa$ diminue.

Figure 6: Rayon de courbure et courbure.

En raison de cet exemple, $R=1/\kappa$ s'appelle le rayon de courbure de $\Gamma$ en $P$. On voit de plus que le cercle du plan $P+>{\bf t},{\bf n}<_l$, de centre $P+R{\bf n}$ et de rayon $R$ a même tangente, même normale et même courbure que $\Gamma$ en $P$. On l'appelle le cercle osculateur de $\Gamma$ en $P$. Son centre est le centre de courbure et son plan, le plan osculateur de $\Gamma$ en $P$.

Figure: La concavité est orientée dans le sens de la normale principale.

Remarque 6.3.8   Quand $\kappa\ne0$, le développement de Taylor

$$\gamma_0+s{\bf t}+\frac{s^2}{2}\kappa{\bf n}+ O(s^3)$$

de $\gamma$ montre que $\gamma$ se comporte au voisinage de $s=0$ comme la parabole du plan osculateur dont l'équation dans le repère $(\gamma_0,({\bf t},{\bf n}))$ est

$$y=\frac{\kappa}{2}x^2.$$

Comme $\kappa$ est positif on dit donc que la concavité de $\Gamma$ est orientée dans le sens de la normale principale.

Le vecteur ${\bf b}={\bf t}\wedge{\bf n}$ est orthogonal au plan osculateur et est normé. C'est la binormale à $\Gamma$ en $P$. Il forme avec ${\bf t}$ et ${\bf n}$ une base orthonormée positive de $\overrightarrow{{\mathcal E}}$: le trièdre de Frenet $({\bf t},{\bf n},{\bf b})$. Il varie bien entendu avec $s$. Voici de quelle façon.

Figure: Le trièdre de Frenet.

Proposition 6.3.9   (Formules de Frenet) Lorsque $\kappa\ne0$, les dérivées de ${\bf t}$, ${\bf n}$ et ${\bf b}$ sont données par

$$% latex2html id marker 34477\left\{ \begin{array}{ccl} \do... ...tau{\bf b}\\ \dot{{\bf b}}&=&-\tau{\bf n} \end{array}\right.$$

où $\tau$ est une fonction de $s$.

Preuve. Puisque ${\bf n}$ est normé, $\dot{{\bf n}}$ lui est orthogonal (Proposition 2.7). C'est donc une combinaison linéaire de ${\bf t}$ et ${\bf b}$. On appelle $\tau$ son coefficient selon ${\bf b}$. Pour son coefficient $\dot{{\bf n}}.{\bf t}$ selon ${\bf t}$, on a

$$\dot{{\bf n}}.{\bf t}=({\bf n}.{\bf t})\dot{}-{\bf n}.\dot{{\bf t}}=-{\bf n}.(\kappa{\bf n})=-\kappa$$

puisque ${\bf t}$ et ${\bf n}$ sont orthogonaux et normés. Cela étant,

$$\dot{{\bf b}} = ({\bf t}\wedge{\bf n})\dot{}$$

$$= \dot{{\bf t}}\wedge{\bf n}+{\bf t}\wedge\dot{{\bf n}}$$

$$= \kappa{\bf n}\wedge{\bf n}+{\bf t}\wedge(-\kappa{\bf t}+\tau{\bf b})$$

$$= -\tau{\bf n}.$$

D'où le résultat.$\qed$

Remarque 6.3.10   On peut donner une forme unique aux formules de Frenet. En posant

$${\bf w}=\kappa{\bf b}+\tau{\bf t},$$

on voit que ${\bf t}$, ${\bf n}$ et ${\bf b}$ vérifient chacun la relation

$$\dot{{\bf u}}={\bf w}\wedge{\bf u}.$$

La troisième formule de Frenet indique la manière dont la direction du plan osculateur varie: sa normale ${\bf b}$ à tendance à ``pivoter" autour de la direction de la tangente à $\Gamma$ et ce d'autant plus fort que $\vert\tau\vert$ est grand. C'est pourquoi $\tau$ s'appelle la torsion de $\Gamma$. Quand elle n'est pas nulle, $T=1/\tau$ est le rayon de torsion.

Proposition 6.3.11   Soient un arc paramétré de courbe $\Gamma$ décrit par un paramétrage naturel $(I,\gamma)$ et un intervalle ouvert $J\subset I$ dans lequel $\kappa\ne0$.

(i) Si $\Gamma$ est contenu dans un plan, alors $\tau=0$ dans $J$.

(ii) Si $\tau=0$ dans $J$, alors le plan osculateur de $\Gamma$ est constant dans $J$.

Preuve. (i) Si $\Gamma$ est contenu dans un plan, alors celui-ci se confond avec le plan osculateur de $\Gamma$. Par conséquent, ${\bf b}$ est constant dans $J$. D'après la troisième formule de Frenet, on en déduit que $\tau=0$.

(ii) Si $\tau=0$ dans $J$, alors ${\bf b}$ y est constant. On a alors, dans $J$,

$$\frac{d}{ds}((\gamma-\gamma(s_0)).{\bf b})={\bf t}.{\bf b}=0.$$

où $s_0\in J$ est fixé. Par conséquent,

$$\gamma(s).{\bf b}=\gamma(s_0).{\bf b},\ \forall s \in J,$$

ce qui prouve que $\gamma(J)$ est contenu dans le plan passant par $\gamma(s_0)$ et orthogonal à ${\bf b}$.$\qed$

Quand la courbure s'annule, le plan osculateur peut subir des variations brusques témoignant de discontinuités de la normale principale. Considérons par exemple le paramétrage de classe $C_\infty$

$$\gamma(t)= P+t{\bf u}+f(t){\bf v}+g(t){\bf w}, \ t\in{\rm I\!R},$$

Figure: Discontinuité de la normale principale quand $\kappa =0$.

où ${\bf u}, {\bf v}, {\bf w}$ forment une base orthonormée et où les fonctions $f$ et $g$ sont données par $g(t)=f(-t)$ et

$$% latex2html id marker 34624f(t)= \left \{ \begin{array}{l... ...-t^{-2}} &{\rm si}& t<0\\ 0 &{\rm sinon.} \end{array}\right.$$

Quand $t\le 0$, $\gamma(t)$ est dans le plan $P+>{\bf u},{\bf v}<_l$; quand $t\ge 0$, il est dans le plan $P+>{\bf u},{\bf w}<_l$, perpendiculaire au précédent. En comptant l'abscisse curviligne à partir de $P$ dans l'orientation définie par $\gamma$, alors

$$\lim_{s\to0^-}{\bf n}={\bf v}, \ \lim_{s\to0^+}{\bf n}={\bf w}.$$

comme on le voit facilement en appliquant les formules ci-dessous.