Table des matières

• Table des matières
• 1 Préliminaires
  • 1.1 Topologie
    • 1.1.1 Espace topologique
    • 1.1.2 Topologie induite
    • 1.1.3 Application continue
  • 1.2 Applications différentiables
    • 1.2.1 Différentiabilité
    • 1.2.2 Exemples
    • 1.2.3 Rang d'une application
    • 1.2.4 Dérivation des fonctions composées
    • 1.2.5 Gradient
• 2 Définition des variétés plongées
  • 2.1 Paramétrages
    • 2.1.1 Définition
    • 2.1.2 Paramétrages par des coordonnées
    • 2.1.3 Equivalence
  • 2.2 Equations cartésiennes
    • 2.2.1 Définition
    • 2.2.2 Graphes de fonctions
  • 2.3 Variétés plongées
    • 2.3.1 Définition
    • 2.3.2 Dimension
    • 2.3.3 Un exemple: les matrices de rang $r$
• 3 Quelques exemples
  • 3.1 Les quadriques
    • 3.1.1 Premières propriétés
    • 3.1.2 Classification des quadriques de ${\rm I\!R}^3$
  • 3.2 Groupes de matrices
    • 3.2.1 Le groupe linéaire général
    • 3.2.2 Le groupe de l'orientation
    • 3.2.3 Le groupe unimodulaire
    • 3.2.4 Le groupe orthogonal
    • 3.2.5 Le groupe des rotations
    • 3.2.6 Le groupe affine
    • 3.2.7 Les transformations complexes
• 4 Quelques cas particuliers
  • 4.1 Une quadrique: $SL(2,{\rm I\!R})$
  • 4.2 Le cercle $S^1$
  • 4.3 La sphère $S^3$, rotations et quaternions
    • 4.3.1 L'algèbre des quaternions
    • 4.3.2 $S^3$ comme sous-groupe de $SO(4)$
    • 4.3.3 $SO(3)$ et l'espace projectif ${\rm I\!P}^3{\rm I\!R}$
• 5 Espace tangent
  • 5.1 Espace tangent
  • 5.2 Espace tangent aux groupes de matrices
    • 5.2.1 Groupes et exponentielle
    • 5.2.2 L'algèbre de Lie de $G$
  • 5.3 Extrema liés: la règle des multiplicateurs de Lagrange
    • 5.3.1 Distance d'un point à une variété affine
    • 5.3.2 Fonctions homogènes
    • 5.3.3 Les lois de l'optique géométrique
  • 5.4 Espace tangent aux surfaces réglées
    • 5.4.1 Définition et exemples
    • 5.4.2 Direction limite des plans tangents à une génératrice
    • 5.4.3 Position des plans tangents le long d'une génératrice non cylindrique
• 6 Les formes fondamentales des hypersurfaces
  • 6.1 La première forme fondamentale
    • 6.1.1 Définition
    • 6.1.2 Equations de structure (I)
    • 6.1.3 Calcul des longueurs d'arc
    • 6.1.4 Distances & géodésiques
    • 6.1.5 Géodésique et surfaces de révolution
    • 6.1.6 Mesure des aires
    • 6.1.7 Un théorème d'Archimède
  • 6.2 La seconde forme fondamentale
    • 6.2.1 Normale
    • 6.2.2 Equations de structure (II)
    • 6.2.3 Le théorème de Meusnier
    • 6.2.4 Courbure de Gauss
• 7 Inégalité isopérimétrique
  • 7.1 Le problème & la méthode
  • 7.2 Quelques propriétés des ensembles convexes
    • 7.2.1 Distance d'un point à un convexe
    • 7.2.2 Hyperplan d'appui
    • 7.2.3 Convexes d'intérieur non vide
  • 7.3 Fonctions convexes
    • 7.3.1 Inégalité de Jensen
    • 7.3.2 Le graphe de $f$ comme hypersurface
    • 7.3.3 Convexité & hessien
  • 7.4 Preuve de l'inégalité de Brun-Minkowski
    • 7.4.1 Cas des unions finies de semi-intervalles
    • 7.4.2 Cas de deux compacts
• A. Densités et éléments de volume
  • A..1 Introduction
  • A..2 Bases d'un espace vectoriel
    • A..2.1 Définition
    • A..2.2 Action de $GL(m,{\rm I\!R})$ sur les bases de $E$
  • A..3 Densités
    • A..3.1 Définition
    • A..3.2 Signe des densités
  • A..4 Produits scalaires
    • A..4.1 Action de $GL(E)$
    • A..4.2 L'application $\alpha _E$
  • A..5 Densités et produits scalaires
    • A..5.1 Densités associées à un produit scalaire
    • A..5.2 Exemples
  • A..6 Densités et intégration
    • A..6.1 Cas d'un espace affine
    • A..6.2 Mesure des parallélotopes
    • A..6.3 Cas des espaces euclidiens
    • A..6.4 Cas des variétés plongées
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