7.2.3 Convexes d'intérieur non vide

Nous supposons dans ce paragraphe que $e$ est convexe, compact et que son intérieur n'est pas vide. Nous allons d'abord vérifier que $\dot{e}$ est canoniquement homéomorphe à une sphère (^7.5).

Quitte à le translater, ce qui ne restreint pas la portée de ce qui suit, et choisir $r$ assez petit, nous pouvons supposer que $e$ contient la boule $rb$ de centre 0 et de rayon $r$. Posons $\psi:x\in {\rm I\!R}\setminus\{0\}\mapsto rx/\vert x\vert\in rS^{m-1}$.

Proposition 62   L'application $\psi_{\vert\dot{e}}\to rS^{m-1}$ est une bijection continue, ainsi que sa réciproque.

a)Toute demi-droite $t{\bf u}, t>0$, ${\bf u}\in rS^{m-1}$, rencontre $\dot{e}$ en un point... En effet, comme $e$ est borné, la meilleure borne supérieure $s$ de $\{t:t{\bf u}\in e\}$ existe. Le point $s{\bf u}$ est dans la frontière de $e$: en prenant $t$ assez proche de $s$, on obtient des points $t{\bf u}$ aussi près de $s{\bf u}$ que l'on veut; avec $t>s$, ils n'appartiennent pas à $e$; avec $t<s$, ils appartiennent à $e$ car, par convexité, celui-ci contient le segment joignant 0 à $s{\bf u}$.

b) ... et en un seul. En effet, supposons que $s{\bf u}, s>0$, soit un point frontière de $e$. Par convexité, tous les segments joignant un point de $rb$ à $s{\bf u}$ sont contenus dans $e$. Les points $t{\bf u}$, $0<t<s$, sont donc intérieurs à $e$. Nous noterons $\varphi({\bf u})$ le point frontière de $e$ de la forme $t{\bf u}$, $t>0, \vert u\vert=r$.

c) Il est clair que $\psi_{\vert\dot{e}}$ et $\varphi$ sont des applications réciproques l'une de l'autre. La première est continue car c'est la restriction d'une application continue de ${\rm I\!R}^m\setminus\{0\}$ dans ${\rm I\!R}^m$. Vérifions que $\varphi$ l'est aussi. Soit une suite ${\bf u}_k\in rS^{m-1}$ convergeant vers ${\bf u}$. Posons $\varphi({\bf u}_k)=t_k{\bf u}_k$ et $\varphi({\bf u})=t{\bf u}$. Nous allons vérifier que $\lim t_k=t$ en montrant que de toute sous-suite de $t_k$, on peut extraire une sous-suite qui converge vers $t$ (^7.6). Pour alléger les notations, nous appellons encore $t_k$ la sous-suite. La suite $t_k$, bornée, admet une sous-suite convergente dont nous notons $t'$ la limite. Puisque $\dot{e}$ est fermé, $t'{\bf u}=\lim t_k{\bf u}_k\in\dot{e}$. Vu l'unicité prouvée en b), c'est donc $\varphi({\bf u})$.$\qedsymbol$

Nous notons encore $\varphi$ la réciproque de la restriction de $\psi$ à la frontière de $e$.

Proposition 63   Supposons que la frontière de $e$ soit une variété plongée dans ${\rm I\!R}^m$. Si $(U,\theta)$ est un pramétrage d'un ouvert de $rS^{m-1}$, alors $(U,\varphi \circ\theta)$ est un paramétrage d'un ouvert de $\dot{e}$. En particulier, $\dim\dot{e}=m-1$ et $\dot{e}$ admet des pramétrages du complémentaire de chacun de ses points.

Soit $a\in \dot{e}$. Montrons que la restriction de $\psi_{*a}$ à $\overrightarrow{T_a\dot{e}}$ est injective. On a

$$\psi_{*a}h=\frac{r}{\vert a\vert}(h-\frac{a.h}{\vert a\vert}\frac{a}{\vert a\vert}).$$

Supposons que cette cette dérivée soit nulle et que $h\in\overrightarrow{T_a\dot{e}}$. Le vecteur $h$ est donc parallèle à $a$. S'il n'est pas nul, alors $a\in\overrightarrow{T_a\dot{e}}$. Notons $N$ une normale extérieure à $\dot{e}$ en $a$. Pour tout $x \in e$, on a alors

$$x.N=(x-a).N=\overrightarrow{ax}.N\leq 0.$$

C'est absurde puisque si $\vert{\bf u}\vert\leq r$, $\pm{\bf u}\in e$.

Soit un paramétrage local $(V,\alpha)$ de $\dot{e}$. En le composant avec $\psi$, on obtient un paramétrage local $(V,\psi\circ\alpha)$ de $rS^{m-1}$: $\psi\circ\alpha$ est injectif, de même que sa différentielle; de plus, vu la proposition précédente, sa réciproque est continue.

Soient à présent un paramétrage $(U,\theta)$ d'un ouvert $\omega$ de $rS^{m-1}$ et un point quelconque $b$ de $\omega$. On peut choisir $(V,\alpha)$ pour que $\alpha(V)$ soit un voisinage de $\psi^{-1}(b)$ contenu dans $\psi^{-1}\omega$. Les paramétrages $(U,\theta)$ et $(V,\psi\circ\alpha)$ de $rS^{m-1}$ étant localement équivalents, il existe un changement de variables régulier $\eta: U'=\theta^{-1}\alpha(V)\to V$ tel que $\theta=\psi\circ\alpha\circ\eta$. On a alors $\varphi\circ\theta=\alpha\circ\beta$, ce qui montre que $\varphi\circ\theta$ définit un paramétrage de $\dot{e}$ dans $U$.

Pour paramétrer le complémentaire d'un point de $\dot{e}$, il suffit donc de paramétrer le complémentaire d'un point d'une sphère. Ceci se fait par exemple grâce aux projections stéréographiques.$\qedsymbol$

Pour le reste de ce paragraphe, nous supposons que $(U,\psi)$ est un paramétrage du complémentaire d'un point (noté $a$ dans la suite) de $\dot{e}$. Nous notons $N$ la normale orientée vers l'extérieur de $e$. Nous pouvos supposer que c'et celle ssociée au paramétrage $(U,\psi)$ Nous allons à présent vérifier que $mes(e+tb)$ est un polynôme en $t$ pour $t\geq 0$ assez petit.

Proposition 64   Il existe $\epsilon > 0$ tel que pour tout $t\in [0,\epsilon]$,

$$mes(e+tb)=mes(e)+\sum_{r=1}^m\frac{t^r}{r}\int_{\dot{e}}\kappa_{r-1}d\sigma,$$

où $\kappa_r$ est la somme des produits $r$ à $r$ des courbures principales de $\dot{e}$, c'est-à-dire le coefficient de $t^r$ dans $\det({\bf 1}+tW)$.

La démarche consiste à vérifier que $(x,t)\mapsto x+tN_x$ est une bijection entre $\dot{e}\times ]0,+\infty[$ et le complémentaire de $e$, et donc que, quelque soit $\epsilon > 0$, $\Psi:(u,t)\mapsto \psi(u)=tN_{\psi(u)}$ en est une de $U\times ]0,\epsilon[$ sur son image. Ensuite, on montre que si $\epsilon$ est asssez petit, $\Psi$ est un changement de variables régulier entre $U\times ]0,\epsilon[$ et son image, qui est $e+\epsilon b\setminus e$, à un ensemble négligeable près. Pour cela, on constate que le déterminant de la différentielle de $\Psi$ vaut $\det({\bf 1}+tW)\vert\partial_1\psi\wedge\cdots\wedge\partial_{m-1}\psi\vert$ et on utilise alors la compacité de $e$ pour s'assurer du fait que $\det({\bf 1}+tW)$ est non nul sur $U\times ]0,\epsilon[$ pour $\epsilon$ bien choisi.Voyons cela plus en détail.

Il est assez évident que $(x,t)\mapsto x+tN_x$ est une bijection: si $y= x+tN_x$ alors $x$ est la projection de $y$ sur $e$, ce qui le détermine univoquement, ainsi que $t$.

Calculons le déterminant de la différentielle de $\Psi$. En notant $\partial_i$ la dérivée par rapport à $u_i$, il vient

$$\det \Psi_*=\det(\partial_1\psi+t\partial_1N\cdots\partial_{m-1}\psi+t\partial_{m-1}N N).$$

Le coefficient de $t^r$ dans cette expression vaut

$$\sum_{i_1<\cdots<i_r}\det(\partial_1\psi\cdots\partial_{i_1}N\cdots\partial_{i_r}N\cdots\partial_{m-1}\psi N).$$

En développant selon la base des $\partial_i\psi$ et en notant $W^i_j$ les composantes de $W$ selon cette base, on constate aisément que ceci vaut encore

$$(\sum_{i_1<\cdots<i_r}\det(W^{i_p}_{i_q}))\det(\partial_1\psi\cdots\partial_{m-1}\psi N).$$

Cela étant, la somme entre parenthèses est le cefficient de $t^r$ dans le développement de $\det({\bf 1}+tW)$. De plus, le déterminant de droite n'est autre que $\vert\partial_1\psi\wedge\cdots\wedge\partial_{m-1}\psi\vert$. Par conséquent,

$$\det \Psi_*=\det({\bf 1}+tW)\vert\partial_1\psi\wedge\cdots\wedge\partial_{m-1}\psi\vert.$$

Le déterminant $\det({\bf 1}+tW)$ vaut $1$ en $t=0$. Par conséquent, pour chaque $x\in\dot{e}$, il est non nul dans un voisinage $\omega_x\times]-\epsilon_x,\epsilon_x[$ de $(x,0)$ dans $U\times{\rm I\!R}$. Etant compact, $\dot{e}$ est recouvert par un nombre fini d'ouverts $\omega_x, x\in I,$ et $\det({\bf 1}+tW)$ est donc non nul dans $\dot{e}\times]-\epsilon,\epsilon[$, où $\epsilon$ est le plus petit des $\epsilon_x, x\in I$.

D'après le théorème de la fonction inverse, $\Psi$ est donc un changement de variables régulier entre $U\times ]0,\epsilon[$ et son image. On a donc

$$mes(e+\epsilon b)=mes(e)+\int_0^{\ep... ...({\bf 1}+tW)\vert\partial_1\psi\wedge\cdots\wedge\partial_{m-1}\psi\vert dudt.$$

La proposition résulte alors aussitôt de l'égalité

$$\det({\bf 1}+tW)=\sum_{r=0}^{m-1}\kappa_rt^r.$$

$\qedsymbol$

Comme signalé plus haut, cette proposition donne lieu à l'inégalité isopérimétrique pour les convexes compacts d'intérieur non vide dont la frontière est une variété plongée, inégalité qui sera validée dès que nous aurons établi l'inégalité de Brun-Minkowski. Elle est en fait vraie dans l'ensemble de tous les convexes compacts non vides, mais nous ne le démontrerons pas.

Voici un autre corollaire de cette proposition. C'est un cas particulier d'un théorème très général de géométrie différentielle, le théorème de Gauss-Bonnet.

Proposition 65   Si l'hypersurface $S\subset {\rm I\!R}^m$ est la frontière d'un convexe compact d'intérieur non vide, alors sa courbure de Gauss vérifie

$$\int_SKd\sigma=m\ mes(b).$$

Il suffit d'identifier le coefficient de plus haute puissance en $t$ dans $mes(e+tb)$ et dans son expression donnée par la proposition.$\qedsymbol$

Cette proposition résulte aussi du Corollaire 52. En effet, pour une hypersurface $S$ comme dans l'énoncé, la surface de l'image de $S$ sous l'application de Gauss $N$ est la sphère tout entière.