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4.1 Une quadrique: % latex2html id marker 17745
$ SL(2,{\rm I\!R})$

Le groupe % latex2html id marker 17747
$ SL(2,{\rm I\!R})$ est une quadrique. C'est en effet l'ensemble

\begin{displaymath}
% latex2html id marker 17749\{
\left (
\begin{array}{cc}
x&y\\
z&t
\end{array}\right )\in gl(2,{\rm I\!R}):xt-yz=1
\}
\end{displaymath}

En posant

$\displaystyle X=\frac{x+t}{\sqrt 2},T=\frac{x-t}{\sqrt 2},Y=\frac{y+z}{\sqrt 2},Z=\frac{y-z}{\sqrt 2}
$

on peut réécrire son équation sous la forme

$\displaystyle X^2-Y^2+Z^2-T^2=1.
$

Les sections par les plans parallèles d'équations $ Y=a,T=b$ sont des cercles, de rayons $ \sqrt{1+a^2+b^2}$. Celui-ci est minimum lorsque $ a=b=0$, c'est-à-dire lorsque la matrice de coordonnées $ (x,y,z,t)$ est une matrice de rotation.