4.3.1 L'algèbre des quaternions

Une algèbre ${\mathcal A}$ est un espace vectoriel muni d'une application bilinéaire

$$(a,b)\in{\mathcal A}\times{\mathcal A}\mapsto ab\in{\mathcal A}$$

L'algèbre ${\rm I\!H}$ des quaternions est l'espace vectoriel

$${\rm I\!R}^4\cong{\rm I\!R}\times{\rm I\!R}^3=\big\{(r,{\bf u})\vert r\in{\rm I\!R},{\bf u}\in{\rm I\!R}^3\big\}$$

muni de la mutiplication définie par

$$(r,{\bf u})(s,{\bf v})=(rs-{\bf u}.{\bf v},r{\bf v}+s{\bf u}+{\bf u}\wedge{\bf v})$$

où $({\bf u},{\bf v})\mapsto{\bf u}.{\bf v}$ désigne le produit scalaire canonique de ${\rm I\!R}^3$ et $({\bf u},{\bf v})\mapsto{\bf u}\wedge{\bf v}$ son produit vectoriel.

Proposition 15   La multiplication des quaternions est associative mais elle n'est pas commutative: $q=(r,{\bf u})\in{\rm I\!H}$ est dans le centre de ${\rm I\!H}$ si et seulement si ${\bf u}=0$.

Le centre d'une algèbre ${\mathcal A}$ est l'ensemble des éléments $a\in {\mathcal A}$ qui commutent avec ${\mathcal A}$, c'est-à-dire tels que $ab=ba$ pour tout $b\in{\mathcal A}$.

La vérification de l'associativité est directe: on développe les produits $(r,{\bf u})((s,{\bf v})(t,{\bf w}))$, $((r,{\bf u})(s,{\bf v}))(t,{\bf w})$, on les simplifie puis on applique l'identité du double produit vectoriel pour constater qu'ils sont égaux. Il est clair que les quaternions $(r,0), r\in{\rm I\!R},$ sont dans le centre de ${\rm I\!H}$. Inversement, si $(r,{\bf u})$ est central dans ${\rm I\!H}$, alors

$$(r,{\bf u})(0,{\bf v})-(0,{\bf v})(r,{\bf u})=(0, 2{\bf u}\wedge{\bf v})=0$$

pour tout ${\bf v}$, et donc ${\bf u}=0$.$\qedsymbol$