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4.3.1 L'algèbre des quaternions

Une algèbre $ {\mathcal A}$ est un espace vectoriel muni d'une application bilinéaire

$\displaystyle (a,b)\in{\mathcal A}\times{\mathcal A}\mapsto ab\in{\mathcal A}
$

L'algèbre % latex2html id marker 17837
$ {\rm I\!H}$ des quaternions est l'espace vectoriel

% latex2html id marker 17839
$\displaystyle {\rm I\!R}^4\cong{\rm I\!R}\times{\rm I\!R}^3=\big\{(r,{\bf u})\vert r\in{\rm I\!R},{\bf u}\in{\rm I\!R}^3\big\}
$

muni de la mutiplication définie par

% latex2html id marker 17841
$\displaystyle (r,{\bf u})(s,{\bf v})=(rs-{\bf u}.{\bf v},r{\bf v}+s{\bf u}+{\bf u}\wedge{\bf v})
$

% latex2html id marker 17843
$ ({\bf u},{\bf v})\mapsto{\bf u}.{\bf v}$ désigne le produit scalaire canonique de % latex2html id marker 17845
$ {\rm I\!R}^3$ et % latex2html id marker 17847
$ ({\bf u},{\bf v})\mapsto{\bf u}\wedge{\bf v}$ son produit vectoriel.

Proposition 15   La multiplication des quaternions est associative mais elle n'est pas commutative: % latex2html id marker 17850
$ q=(r,{\bf u})\in{\rm I\!H}$ est dans le centre de % latex2html id marker 17852
$ {\rm I\!H}$ si et seulement si % latex2html id marker 17854
$ {\bf u}=0$.

Le centre d'une algèbre $ {\mathcal A}$ est l'ensemble des éléments $ a\in {\mathcal A}$ qui commutent avec $ {\mathcal A}$, c'est-à-dire tels que $ ab=ba$ pour tout $ b\in{\mathcal A}$.
La vérification de l'associativité est directe: on développe les produits % latex2html id marker 17866
$ (r,{\bf u})((s,{\bf v})(t,{\bf w}))$, % latex2html id marker 17868
$ ((r,{\bf u})(s,{\bf v}))(t,{\bf w})$, on les simplifie puis on applique l'identité du double produit vectoriel pour constater qu'ils sont égaux. Il est clair que les quaternions % latex2html id marker 17870
$ (r,0), r\in{\rm I\!R},$ sont dans le centre de % latex2html id marker 17872
$ {\rm I\!H}$. Inversement, si % latex2html id marker 17874
$ (r,{\bf u})$ est central dans % latex2html id marker 17876
$ {\rm I\!H}$, alors

% latex2html id marker 17878
$\displaystyle (r,{\bf u})(0,{\bf v})-(0,{\bf v})(r,{\bf u})=(0, 2{\bf u}\wedge{\bf v})=0
$

pour tout % latex2html id marker 17880
$ {\bf v}$, et donc % latex2html id marker 17882
$ {\bf u}=0$.$ \qedsymbol$

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