Un espace topologique est connexe s'il est "d'un seul tenant", ce qui, techniquement, se traduit par le fait que n'admet pas de partition en deux ouverts. L'image continue d'un connexe est connexe: si est continu et si est connexe, alors est connexe pour la topologie induite par celle de . Cette propriété, facile à vérifier, est la version générale du théorème des valeurs intermédiaires. Les connexes de sont en effet les intervalles(2.3). Dès lors, si est continu, est un intervalle. Comme il contient et , il contient aussi l'intervalle dont ils sont les extrémités.
Pour voir que est constant lorsque est connexe, on observe que les ensembles
sont des ouverts disjoints dont l'union est . Il faut donc bien que l'un d'eux coïncide avec qui, sinon, ne serait pas connexe.La codimension (en a) de est le nombre . La dimension de en est le nombre de paramètres nécessaires pour décrire au voisinage de tandis que sa codimension est le nombre d'équations cartésiennes qu'il faut imposer à un point de pour qu'il appartienne à un voisinage de dans . Une hypersurface est une variété plongée de codimension et une surface est une variété de dimension 2.