2.3.2 Dimension

Les notations étant celles du Théorème 8, le Théorème 7 montre que le nombre $p$ ne dépend pas du paramétrage choisi pour décrire $V$ au voisinage de $a$. On appelle ce nombre la dimension de $V$ en $a$. On le note $\dim_aV$. Il est localement constant. En particulier, il est constant lorsque $V$ est connexe et on le note alors $\dim V$.

Un espace topologique $X$ est connexe s'il est "d'un seul tenant", ce qui, techniquement, se traduit par le fait que $X$ n'admet pas de partition en deux ouverts. L'image continue d'un connexe est connexe: si $f:X\to Y$ est continu et si $X$ est connexe, alors $f(X)$ est connexe pour la topologie induite par celle de $Y$. Cette propriété, facile à vérifier, est la version générale du théorème des valeurs intermédiaires. Les connexes de ${\rm I\!R}$ sont en effet les intervalles(^2.3). Dès lors, si $f:[a,b]\to {\rm I\!R}$ est continu, $f([a,b])$ est un intervalle. Comme il contient $f(a)$ et $f(b)$, il contient aussi l'intervalle dont ils sont les extrémités.

Pour voir que $\dim_aV$ est constant lorsque $V$ est connexe, on observe que les ensembles

$$\big\{a\in V\vert\dim_aV=p\big\}, p\in{\rm I\!N},$$

sont des ouverts disjoints dont l'union est $V$. Il faut donc bien que l'un d'eux coïncide avec $V$ qui, sinon, ne serait pas connexe.

La codimension (en a) de $V$ est le nombre $m-\dim_aV$. La dimension de $V$ en $a$ est le nombre de paramètres nécessaires pour décrire $V$ au voisinage de $a$ tandis que sa codimension est le nombre d'équations cartésiennes qu'il faut imposer à un point de ${\rm I\!R}^m$ pour qu'il appartienne à un voisinage de $a$ dans $V$. Une hypersurface est une variété plongée de codimension $1$ et une surface est une variété de dimension 2.