next up previous contents
suivant: 2.3.3 Un exemple: les monter: 2.3 Variétés plongées précédent: 2.3.1 Définition   Table des matières

2.3.2 Dimension

Les notations étant celles du Théorème 8, le Théorème 7 montre que le nombre $ p$ ne dépend pas du paramétrage choisi pour décrire $ V$ au voisinage de $ a$. On appelle ce nombre la dimension de $ V$ en $ a$. On le note $ \dim_aV$. Il est localement constant. En particulier, il est constant lorsque $ V$ est connexe et on le note alors $ \dim V$.
Un espace topologique $ X$ est connexe s'il est "d'un seul tenant", ce qui, techniquement, se traduit par le fait que $ X$ n'admet pas de partition en deux ouverts. L'image continue d'un connexe est connexe: si $ f:X\to Y$ est continu et si $ X$ est connexe, alors $ f(X)$ est connexe pour la topologie induite par celle de $ Y$. Cette propriété, facile à vérifier, est la version générale du théorème des valeurs intermédiaires. Les connexes de % latex2html id marker 17018
$ {\rm I\!R}$ sont en effet les intervalles(2.3). Dès lors, si % latex2html id marker 17022
$ f:[a,b]\to {\rm I\!R}$ est continu, $ f([a,b])$ est un intervalle. Comme il contient $ f(a)$ et $ f(b)$, il contient aussi l'intervalle dont ils sont les extrémités.

Pour voir que $ \dim_aV$ est constant lorsque $ V$ est connexe, on observe que les ensembles

% latex2html id marker 17034
$\displaystyle \big\{a\in V\vert\dim_aV=p\big\}, p\in{\rm I\!N},
$

sont des ouverts disjoints dont l'union est $ V$. Il faut donc bien que l'un d'eux coïncide avec $ V$ qui, sinon, ne serait pas connexe.
La codimension (en a) de $ V$ est le nombre $ m-\dim_aV$. La dimension de $ V$ en $ a$ est le nombre de paramètres nécessaires pour décrire $ V$ au voisinage de $ a$ tandis que sa codimension est le nombre d'équations cartésiennes qu'il faut imposer à un point de % latex2html id marker 17052
$ {\rm I\!R}^m$ pour qu'il appartienne à un voisinage de $ a$ dans $ V$. Une hypersurface est une variété plongée de codimension $ 1$ et une surface est une variété de dimension 2.


next up previous contents
suivant: 2.3.3 Un exemple: les monter: 2.3 Variétés plongées précédent: 2.3.1 Définition   Table des matières