7.4.2 Cas de deux compacts

A présent, nous supposons que $A$ et $B$ sont deux compacts. Pour chaque entier $k$, on recouvre ${\rm I\!R}^m$ par des semi-intervalles cubiques de côté $1/k$. On note $A_k$ l'union de ces cubes qui rencontrent $A$ et $B_k$, celles de ceux qui rencontrent $B$. En vertu de la sous-section précédente,

$$\sqrt[m]{mes(A_k+B_k)}\geq\sqrt[m]{mes(A_k)}+\sqrt[m]{mes(B_k)}.$$

En passant à la limite lorsque $k$ tend vers $+\infty$, on obtient l'inégalité (20). En effet, il est facile de vérifier que $\lim_k mes(A_k)= mes(A)$, $\lim_k mes(B_k)= mes(B)$ et $\lim_k mes(A_k+B_k)= mes(A+B)$(^7.11).

L'inégalité de Brun Minkowski est ainsi établie.