3.2.7 Les transformations complexes

Comme espace vectoriel sur ${\rm I\!R}$, l'ensemble $gl(p,{\rm I\!\!\!C})$ des matrices carrées, de dimension $p$, dont les coefficients sont complexes est isomorphe à ${\rm I\!R}^{2p^2}$. Le groupe $GL(p,{\rm I\!\!\!C})$ des éléments non singuliers de $gl(p,{\rm I\!\!\!C})$ en est un ouvert. On y distingue différents sous-groupes, analogues complexes des exemples précédents. Ce sont des variétés plongées dans $gl(p,{\rm I\!\!\!C})\equiv {\rm I\!R}^{2p^2}$. (Les vérifications sont laissées à titre d'exercices, ainsi que le calcul des dimensions.) Outre $sl(p,{\rm I\!\!\!C})=\{A\in gl(p,{\rm I\!\!\!C})\vert\det(A)=1\}$, il y a le groupe unitaire $U(p)=\{A\in gl(p,{\rm I\!\!\!C})\vert A^{*}A={\bf 1}\}$ et son sous-groupe $SU(p)=U(p)\cap SL(p,{\rm I\!\!\!C})$(^3.6).