4.2 Le cercle $S^1$

La correspondance

$$% latex2html id marker 17766\gamma_z:z=a+bi\mapsto \left ( \begin{array}{cc} a&-b\\ b&a \end{array}\right )$$

transforme le produit de nombres complexes en le produit matriciel. En effet, la matrice $\gamma_z$ repésente la multiplication $u\mapsto zu$ par $z$ dans la base $(1,i)$ de ${\rm I\!\!\!C}\equiv {\rm I\!R}^2$ et, comme la multiplication dans ${\rm I\!\!\!C}$ est associative, on a $\gamma_z(\gamma_{z'}(u))=\gamma_{zz'}(u)$ pour tout $u$. Dans cette correspondance, les nombres réels $a$ sont associés aux multiples $a{\bf 1}$ de l'identité. De plus, $\gamma_{\overline{z}}=\tilde{\gamma_{z}}$. En particulier, $\gamma_z\gamma_{\overline{z}}=\vert z\vert^2{\bf 1}$. Ainsi, si $z$ est de module $1$ alors $\gamma_z$ est une rotation. Il est facile de vérifier que la réciproque est vraie: toute rotation plane est représentée par une matrice de la forme $\gamma_z$, avec $\vert z\vert=1$.

Les nombres complexes de module $1$ correspondent donc exactement aux matrices de rotation: le groupe des rotations planes, $SO(2)$, est isomorphe à la circonférence $S^1$ de centre 0 et de rayon $1$ contenue dans ${\rm I\!\!\!C}$, considérée comme groupe pour la multiplication des nombres complexes.

Lorsque $\vert z\vert=1$, $a=\cos\alpha$ et $b=\sin\alpha$ pour un certain $\alpha\in [0,2\pi[$, argument de $z$. C'est aussi une mesure de l'angle de la rotation $\gamma_z$.