A.5.1 Densités associées à un produit scalaire

Nous atteignons enfin un de nos objectifs, à savoir montrer que tout produit scalaire induit naturellement une densité de poids donné sur $E$. Ceci est lié à l'existence de l'application $\alpha _E$.

Soit un produit scalaire $g$ sur $E$. On pose

$$\varphi^g_\lambda:{\bf b}\in{\mathcal B}(E)\mapsto (\alpha_m(g_m,{\bf b}^*g))^{\lambda/2}\in {\rm I\!R}$$

où, pour rappel, $g_m$ désigne le produit scalaire canonique de ${\rm I\!R}^m$. On obtient ainsi une $\lambda$-densité sur $E$, comme le montre immédiatement la formule b) de la proposition .

Si ${\bf b}$ est ue base orthonormée pour $g$, alors

$$\varphi^g_\lambda({\bf b})=(\alpha_m(g_m,g_m))^{\lambda/2}=1$$

ce qui caractérise $\varphi^g_\lambda$ vu la propsoition 70. En général, on peut calculer $\varphi^g_\lambda({\bf b})$ à l'aide de la matrice

$$G_{\bf b}:=(g({\bf b}(\overrightarrow{e_i}),{\bf b}(\overrightarrow{e_j})))_{1\leq i,j\leq m}$$

formée des composantes $g_{ij}$ de $g$ dans la base ${\bf b}$.

Proposition 74   On a

$$\varphi^g_\lambda({\bf b})=(\sqrt{\det G_{\bf b}})^\lambda=(\sqrt{\det (g_{ij})})^\lambda$$ (A.3)

En effet, si ${\bf b}_0$ est une base orthonormée pour $g$ et si ${\bf b}={\bf b}_0.S$, alors

$$G_{\bf b}=(g({\bf b}_0(S(\overrighta... ...ghtarrow{e_j})))) =(g_m(S(\overrightarrow{e_i}),S(\overrightarrow{e_j})))=S^tS$$

De là

$$\varphi^g_\lambda({\bf b})=\vert\det S \vert^{\lambda}\varphi^g_\lambda({\bf b}_0) =(\sqrt{\det G_{\bf b}})^\lambda$$

La densité $\varphi_g:=\varphi^g_1$ de poids $1$ est positive et $\varphi^g_\lambda$ s'obtient en l'élevant à la puissance $\lambda$. De plus, le produit scalaire $g$ de $E$ induit par restriction un produit scalaire $g_F$ sur chaque sous-espace vectoriel de $E$. Il fournit donc automatiquement une base de chaque espace ${\mathcal F}_1(F)$.