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3.2.1 Le groupe linéaire général

On note % latex2html id marker 17587 $ GL(p,{\rm I\!R})$ l'ensemble des matrices non singulières % latex2html id marker 17589 $ A\in gl(p,{\rm I\!R})$. C'est un ouvert de % latex2html id marker 17591 $ gl(p,{\rm I\!R})$. C'est un groupe pour la multiplication matricielle(3.3). C'est le groupe linéaire général. Il possède des sous-groupes intéressants qui sont tous des variétés plongées (dans % latex2html id marker 17597 $ gl(p,{\rm I\!R})$). Cela résulte immédiatement d'un théorème de E. Cartan énoncé ci-dessous mais non démontré dans ces notes(3.4). D'un autre côté, la vérification directe est souvent aisée et nous l'illustrerons dans quelques cas.

Théorème 14   (Théorème de E. Cartan) Tout sous-groupe fermé de % latex2html id marker 17602 $ GL(p,{\rm I\!R})$ est une variété plongée de % latex2html id marker 17604 $ gl(p,{\rm I\!R})$.