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3.2.6 Le groupe affine

Le groupe % latex2html id marker 17694
$ Aff(p,{\rm I\!R})$ est le sous-groupe de % latex2html id marker 17696
$ GL(p+1,{\rm I\!R})$ dont les éléments sont de la forme

\begin{displaymath}
% latex2html id marker 17698\left (
\begin{array}{cc}
A&b\\
0&1
\end{array}\right )
\end{displaymath}

% latex2html id marker 17700
$ A\in GL(p,{\rm I\!R})$ et % latex2html id marker 17702
$ b\in {\rm I\!R}^p$. Comme on le vérifie facilement par calcul direct, ces matrices se multiplient comme les affinités correspondantes qu'elles représentent,

$\displaystyle x\mapsto Ax+b,
$

se composent entre elles. Le groupe % latex2html id marker 17706
$ Aff(p,{\rm I\!R})$ admet l'équation cartésienne

\begin{displaymath}
% latex2html id marker 17708
F:
\left (
\begin{array}{cc}
A&...
...+1,{\rm I\!R})
\mapsto
(c,r-1)\in{\rm I\!R}^p\times{\rm I\!R}.
\end{displaymath}

C'est donc une variété plongée dans % latex2html id marker 17710
$ gl(p+1,{\rm I\!R})$, de dimension $ p^2+p$. On peut aussi observer que

\begin{displaymath}
% latex2html id marker 17714(A,b)\in GL(p,{\rm I\!R})\time...
...ray}{cc}
A&b\\
0&1
\end{array}\right )
\in Aff(p,{\rm I\!R})
\end{displaymath}

est un paramétrage.